EXERCICE SUR LE TH. DE LA BIJECTION fait en classe le vendredi 5 nov. 2010
EXERCICE :
Soit la fonction f: x → x3 - x2 + x - 6
Montrer que l'équation f( x ) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle [ 1 ; 3 ]
Réponse:
• La fonction f est définie, continue et dérivable sur IR. ( 1 )
On a: f ' : x → 3 x2 - 2x + 1
Donnons le signe de f '.
On a : Δ' = b ' ² - ac a = 3 b ' = - 1 c = 1
Δ' = ( -1 )² - 3 ×1 = - 2
Ainsi : Δ' < 0
Donc 3 x2 - 2x + 1 est du signe de a = 3 pour tout x dans IR.
On a f '( x ) > 0 pour tout x dans IR.
• La fonction f est strictement croissante dans IR. ( 2 )
f( 1 ) = 1 - 1 + 1 - 6 = - 5
f( 3 ) = 33 - 32 + 3 - 6 = 27 - 9 + 3 - 6 = 15
• Ainsi 0 est compris entre f( 1 ) et f( 3 ) ( 3 )
Les informations ( 1 ) , ( 2 ) et ( 3 ) dont on dispose permettent
d'après le th. de la bijection de dire que l'équation f( x ) = 0
admet une unique solution dans l'intervalle [ 1 ; 3 ]
Conclusion : f( x ) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [ 1 ; 3 ]
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Remarque: Il est fondamental de vérifier les hypothèses du th.
avant de pouvoir l'utiliser.
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