EX sur le Th de la bijection

                               EXERCICE SUR LE TH. DE LA BIJECTION           fait en classe le vendredi 5 nov. 2010

         EXERCICE :

            Soit la fonction   f: x → x3  - x2  + x  - 6

            Montrer que l'équation f( x ) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle [ 1 ; 3 ]

           Réponse:

                       

         •     La fonction f est définie,  continue et dérivable sur IR.                  ( 1 )

                On a:      f ' : x  →  3 x2  -  2x  + 1

                Donnons le signe de f '.

                On a :     Δ'   = b ' ² - ac             a = 3       b ' = - 1            c = 1

                             Δ' = ( -1 )² - 3 ×1 = - 2

                   Ainsi :    Δ' < 0

                   Donc  3 x2  -  2x  + 1  est du signe de a = 3 pour tout x dans IR.

                  On a    f '( x ) > 0   pour tout x dans IR.

         •    La fonction f est strictement croissante dans IR.                           ( 2 )

                    f( 1 ) = 1   - 1   + 1  - 6 = - 5

                     f( 3 ) =   33  - 32  + 3  - 6  = 27 - 9 + 3 - 6 = 15

        •       Ainsi 0 est compris entre f( 1 ) et f( 3 )                                    ( 3 )

                         Les informations  ( 1 ) , ( 2 ) et ( 3 ) dont on dispose permettent

                          d'après le th. de la bijection de dire que l'équation  f( x ) = 0

                          admet une unique solution dans l'intervalle [ 1 ; 3 ]

               Conclusion :   f( x ) = 0   admet une unique solution dans l'intervalle [ 1 ; 3 ]

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           Remarque:     Il est fondamental de vérifier les hypothèses du th.

                                 avant de pouvoir l'utiliser.   

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