INFO TEST n° 3 Spé maths TS

                                                INFO   TEST  n ° 3   TS              Spé maths    24 no 2015

     EXERCICE :       5 Points 

                                   Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

               Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution du nombre de ses

               abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir  de 2013.

                En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d'abonnés.

                Pour tout entier naturel n, on note an le nombre d'abonnés, en milliers, de

               A la n -ième année après 2013, et bn le nombre d'abonnés, en milliers, de B la n-ième année après 2013.

                Ainsi         a0 = 300     et        b0 = 300  .

                Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser

                la situation par la relation, pour tout entier naturel n:        

                    an + 1 = 0,7 an +  0, 2 bn + 60

                   bn + 1 = 0,1 an +  0, 6 bn + 70

             On considère les matrices :

                                  Quai36 1

                     Pour tout entier naturel  n on  note :

                                       Orf 1

                1. a .Déterminer U1 .

                     REPONSE:

             ( M n'est pas ici une matrice de transition car la somme d'une ligne ne vaut pas 1 )

                   Les Un sont des matrices colonnes.

                 On a:    

                   a0 = 300     et   b0 = 300  

                   Pour n = 0 

                            an + 1 = 0,7 an +  0, 2 bn + 60

                             bn + 1 = 0,1 an +  0, 6 bn + 70

                    donnent:

                      Orf 2

                  Conclusion:

                 Rispa 1

               b. Vérifier que, pour tout entier naturel n , Un + 1 = M x Un + P.

                  REPONSE:

                                  On a :   

                            Rue 1

                         Or 

                           Aven

                Donc:

                   Conclusion:  Un + 1 = M x Un + P

             2. On note :

                     Amps

                 a. Calculer :

                        Des   

                REPONSE: 

             On a  avec la calculatrice:

               Cham

          Conclusion:

                   Mar

             b. En déduire que la matrice I − M est inversible et préciser son inverse.

               REPONSE:

              Si A et B sont  sont deux matrices carrées d'ordre 2 et A x B = I  alors le programme

               admet que l'on a aussi B x A = I et B = A− 1  .

                Ici c'est le cas pour des matrices  I − M et  

                     Seille         

           Donc :

              Conclusion: 

                    La matrice  I − M  est inversible et 

                               Can   

          c. En déduire  la matrice U  telle que U = M x U + P.

              REPONSE:

                La matrice U est une matrice colonne à deux lignes.

              On a :             U = M x U + P

               c-à-d      U − M x U = P    

             c-à-d             I x U  − M x U = P   

           c-à-d            ( I  − M )  x U =  P   

            c-à-d    comme la matrice I  − M  

                      ( I  − M ) − 1  x  ( I  − M )  x U =   ( I  − M ) − 1   x P   

           c-à-d              I   x U =   ( I  − M )− 1   x P   

           c-à-d           U =   ( I  − M )− 1   x P 

           c-à-d    

                       Ado

             Conclusion : 

                Nic

    3. Pour tout entier naturel n, on pose Vn = Un − U .

       a. Justifier que pour tout entier naturel , V n + 1 = M x Vn .

         REPONSE:

                •On a:     Vn = Un − U  pour tout n dans IN 

               Donc     Vn + 1 = Un + 1 − U                    ( 1 )

              •  Mais       Un + 1  =   M x Un + P

                                 U    =      M x U + P

                            ----------------------------------

   Par sous traction   Un + 1 − U  =   M x Un  −  M x U

                  c-à-d          Un + 1 − U  =   M x ( Un  −  U )

                  c-à- d         Un + 1 − U  =   M x Vn      sachant   Vn = Un − U

                En reportant dans ( 1 )   il vient:

                                           Vn + 1 =   M x Vn    

               Conclusion: Pour tout entier naturel n on a bien

                                                      Vn + 1 =   M x Vn    

   b. En déduire que , pour tout entier naturel n, Vn = Mn x V0.

             REPONSE:

             Raisonnons par récurrence sur IN.

           • n = 0

                On a :   Vn = V0                ( Inutile de calculer V0 )

                On a :    Mn x V0  =  = M0 x V0  = I x V0    = V0

            Donc pour n = 0 on a bien   Vn =  Mn x V0  

            • Soit n dans IN quelconque.

             Montrons que si    Vn =  Mn x V0    alors    Vn + 1 =  Mn + 1 x V0     

            Considérons :      Vn =  Mn x V0   

             Alors :               M x  Vn = M x Mn x V0   =  Mn + 1 x V0

                 Or                       M x  Vn = V n + 1    

             Donc               V n + 1     =  M n + 1 x V0   

            Conclusion:   L'égalité est bien prouvée dans IN.

       4. On admet que ,pour tout entier naturel n:

                      Cean

        a. Pour tout entier  naturel n, exprimer Un   en fonction de n et en déduire la limite de la suite ( an ).

            REPONSE:

              (  Vn est une matrice colonne. )

            On a :   Un   = Vn + U    car    Vn = Un − U

            Or

                           Nic 

              et 

            Cean

         Donc en sommant on obtient :

                  Nar

             Conclusion :

                Pour tout n dans IN:

                   Bonne

      Mais :

                    Orf 1     

          Donc :

                        Bord

            Comme    − 1 < 0,8 < 1  on a    lim 0,8n = 0

                                                                n → + ∞        

             Comme    − 1 < 0,8 < 1  on a    lim 0,5n = 0

                                                                n → + ∞

         Donc

    Deaux

     Conclusion:

                    Rou

     b. Estimer le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme.

            REPONSE:

                Pour n grand, donc à long terme, le nombre d'abonnés à l'opérateur A est an voisin de 380.

               C'est en milliers d'abonnés.

            Donc.

          Conclusion :      Il y aura 380 000 abonnés à long terme pour l'opérateur A.

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