INFO DS n° 4 13/12/14 TS1

                                     DS  n° 4                         13    décembre 2014      TS1     2 h

     EXERCICE 1      Extrait de bac   

       On note IR l'ensemble des nombres réels et on considère la fonction f définie par :

                         f ( x ) = x e^{1 − x}  +  1

            On note ( C ) sa courbe représentative  dans un repère orthonormé 

              , avec 1 cm pour l'unité graphique.

      Partie A 

        1. Déterminer la limite de f en  + ∞.

             Que peut-on en déduire pour la courbe ( C ) de f ?

        REPONSE: 

            Soit x dans IR*.

             On a :

              Or  

         et

    Donc :

      D'où

            Donc :

           Conclusion:   

                      lim f = 1  

                       + ∞   

               On peut dire que la courbe de f admet en    + ∞ la droite

                d'équation  y = 1 comme asymptote horizontale.

      2. Déterminer la limite de f en  − ∞.

            REPONSE:

               On a :

                  lim ( 1 − x ) = +  ∞

                x →  −  ∞

                 et 

                  lim e ^X   =  +  ∞

                 X  →  +  ∞

      Donc   

    Ainsi :

    Donc:

           Conclusion :

                   lim f = − ∞  

                 x →  −  ∞  

        3.  On admet que f est dérivable dans IR, et on note f ' sa fonction dérivée.

             Montrer que pour tout réel x ,  f ' ( x ) = ( 1 − x )  e^{1 − x}   .

       REPONSE:

           Soit x dans IR.    On a :       f ( x ) = x e^{1 − x}  +  1

            Ainsi:       f ' ( x ) =   e^{1 − x}   +   x  ( −   e^{1 − x}   )  = ( 1 − x )  e^{1 − x}

         c-à-d

                 Conclusion :

                                   f '( x ) = ( 1 − x )  e^{1 − x}      pour tout x dans IR        

        4. Etudier les variations de f sur IR et dresser son tableau de variation sur IR.  

                     REPONSE:

                Comme exp > 0 sur IR ,   f '( x ) est du signe de 1 − x.

                                       f ( 1 ) = 1 × e⁰  + 1 = 1 + 1 = 2          

        5. Trouver l'équation réduite de la tangente (  T  ) à la courbe ( C ) au point d'abscisse 0.

               REPONSE:

               On a  pour l'équation réduite de T:

                           T : y = f ' ( 0 ) ( x − 0 ) + f (  0 )

                Mais f ( 0 ) = 0 × e ^− 1 + 1 = 1

                         f '( 0 ) = ( 1 − 0 ) e ^{1 − 0}  = e

              Donc

                   Conclusion:

                             T : y = e x + 1

        6. Déterminer les positions relatives de  ( T ) et ( C ).

             REPONSE:

           Soit x dans IR.

       On a :          f( x ) − ( e x + 1 ) = x e^{1 − x}  +  1  − ( e x + 1 ) 

       c-à-d

                     f( x ) − ( e x + 1 ) = x e^{1 − x}  +  1   −  e x − 1  

      c-à-d 

                     f( x ) − ( e x + 1 ) =  x e^{1 − x}  −  e x  = x ( e / e^x   − e )

        c-à-d

         c-à-d   comme     exp > 0 sur IR

                 f (x)  − ( e x + 1 )   est du signe de x (   e⁰ − e^x   )

             Conclusion:    Sur IR*   ( C ) est en dessous de   ( T  )

                                     Le point de coordonnées ( 0 ; 1 ) est commun.

      7. Montrer que l'équation f( x ) = 0 admet une unique solution α dans IR.

              Justifier que  − 1 <  α < 0.

            REPONSE:

              •  Sur l'intervalle [1 , + ∞ [  f est décroissante et  de limite 1 en  + ∞.

                 Donc f ne s'annule pas sur l'intervalle  [1 , + ∞ [.

              •Sur l'intervalle ] −  ∞ , 1 ]:

                      ••  f est définie et continue sur IR car dérivable.

                      ••  f est strictement croissante.

                      ••    f ( 1 ) = 2   et      lim f  = −  ∞

                                                        −  ∞

                           Comme 0 est compris entre      lim f  = −  ∞   et  2   ,d 'après le th de la 

                                                                                    −  ∞

                       bijection généralisé l'équation  f ( x ) = 0 admet une seule solution α dans

                       l'intervalle  ] −  ∞ , 1 ].

                     Par ailleurs :    f ( 0 ) = 1    et     f (   −  1 ) =  − e²   + 1 

                        − e²   + 1  < 0     et    1 > 0

                    On a donc : f (  0 ) × f (  −  1 )  < 0

                 Conclusion :

                        L'équation f( x ) = 0 admet une unique solution α dans IR.

                   α  est compris entre − 1  et  0    car  f (  − 1 ) et f ( 0 ) sont de signes contraires.

      Partie B

      1 . Soit la fonction   h: x →  x e^{1 − x}    qui est définie et dérivable sur  IR .

            Montrer que la fonction H : x  →   ( − 1 − x )  e^{1 − x}      

            a pour fonction dérivée la fonction h  sur IR.

               REPONSE:

                 Soit x dans IR quelconque.

               On a :  

                    H' ( x ) =  −   e ^{1 − x} + ( −  1 −  x ) × ( − e ^{1 − x}    )

        c-à-d

                    H ' ( x ) = (  − 1   +  1 +  x  ) e^{1 − x}    =  x e^{1 − x}     

        c-à-d

                  H ' ( x ) = h ( x )    pour tout réel x.

              Conclusion : Le résultat est prouvé.

          ( On parlera plus tard de H comme une primitive de h . )

     2. Soit n dans IN quelconque.

           On pose:      A_n = H( n ) − H (  0 ) 

           Calculer   A_n  .

             REPONSE:

              On a :

               A_n  = ( − 1 − n ) e^{1 − n}   −   ( − 1 ) e¹  

             c-à-d

           Conclusion:

      3. Montrer que :   lim  A_n = e 

                                      n → + ∞

            REPONSE:

               On a :

         et 

           Donc:

           Conclusion:

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     EXERCICE 2

          Partie A

             1 . Etablir à l'aide de l'étude d'une fonction que :

                        e^x ≥ 1 + x    pour tout x dans IR.

    REPONSE:

                  Soit x dans IR.

                    Posons : w( x ) = e^x − x − 1

                   Il nous suffit de montrer que w ( x ) ≥ 0 pour tout x dans IR.

                  La fonction w est définie et dérivable dans IR comme sommes de telles fonctions.

                  On a:   w ' ( x ) = e^x − 1  =  e^x  − e⁰   

                           Ainsi :     e^x  − e⁰  =  0   ssi   x = 0

                                             e^x  − e⁰  >  0   ssi   x > 0

                                            e^x  − e⁰  <  0   ssi   x < 0

              Tableau de variation:

                      La fonction w admet 0 comme minimum sur IR.

                     Donc     w  ≥ 0  sur IR.

               Conclusion :

                         e^x ≥ 1 + x    pour tout x dans IR.

             2. En déduire sur IR les variations et le signe de la fonction

                  sur IR.

                REPONSE:

                  Soit x dans IR.

                   k est une fonction définie et dérivable dans IR.

                     k ' ( x ) = e^x  − ( 1 + x )  = w ( x )

                    D'après la question précédente  w  > 0 sur IR*   et w ( 0 ) = 0

                    c-à-d   k ' > 0 sur  IR*   et k '( 0 ) = 0               

                 Tableau de variation de k:

                  Conclusion:

                       Donc la fonction k est strictement croissante sur IR.

                     Comme k ( 0 ) = 0  on en déduit que :

                        k > 0  sur l'intervalle ] 0 , + ∞  [

                       k < 0   sur    l'intervalle ] − ∞  , 0 [

             3. Etablir alors que la fonction

                   est positive sur l'intervalle  [ 0 , + ∞ [  .

                REPONSE:

                      g est une fonction définie et dérivable dans IR comme somme de telles fonctions.

                     Soit x dans IR.

                      On a :

                   On connaît donc d'après la question précédente le signe de g ' ( x )

                     Tableau de variation:

                     Ainsi g admet 0 comme minimum en x = 0

                     Donc g( x ) ≥ 0   pour tout réel x .

                   c-à-d

                     Conclusion:

                                     g ≥ 0 sur l'intrvalle [ 0 , + ∞ [

                      c-à-d

               4. En déduire que :

                 REPONSE:

                 On a :

             Donc en transposant il vient :

              Conclusion:

     Partie B    

      Soit:

           On  pose: 

          Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.

          ^.   

          1. Donner l'affixe du point 

                  .

             REPONSE:

                     On a :

                   Or:

                 Conclusion:  

          2. Déterminer la distance 

                .

                On a : 

                Conclusion:

          3. Trouver les limites des suites 

              .

              REPONSE:

                    On a :

            De plus :

          4. Que peut-on dire du point

            quand   tend vers + ∞ ?

               REPONSE:

                  L'affixe du point  tend vers 1 + 0 i.

                   Soit A le point d'affixe 1.

                Conclusion:

               Le point    tend à se rapprocher du point A ( 1 ).

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