INFO EX1 DV n° 10 TS1 21 mars 2015

                                Devoir  n° 10                  21 mars 2015    TS1

               EXERCICE 1

                 On considère la fonction f définie sur l'intervalle  [ 0,  + ∞ [. par:

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      1. Montrons que la fonction f est définie et dérivable sur l'intervalle [ 0,  + ∞ [.

          f est le produit des  fonctions  w : x  ln ( x + 3)    et v : x  1 / ( x+ 3).

           La fonction u : x →  x + 3  est définie dérivable et strictement positive sur

           l'intervalle [ 0,  + ∞ [.

           Donc la fonction   w = ln o u  est définie et dérivable

           sur  l'intervalle [ 0,  + ∞ [.

          De plus la fonction  1 / u est également définie et dérivable sur  l'intervalle [ 0,  + ∞ [.

         On en déduit que f est définie et dérivable dans  l'intervalle [ 0,  + ∞ [.

           Etudier le signe de sa fonction dérivée f '.

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              f ' ( x ) est du signe de 1 − ln(  x + 3 )   pour tout x dans l'intervalle  [ 0,  + ∞ [.

                  c-à-d    

             f '( x )  est du signe de ln( e ) − ln(  x + 3 )   pour tout x dans l'intervalle  [ 0,  + ∞ [.

                   Mais   x + 3 > e > 0  pour tout  x dans l'intervalle  [ 0,  + ∞ [.

                  Donc comme ln est strictement croissante sur   ] 0,  + ∞ [

                   on a   ln( e ) − ln(  x + 3 ) < 0   pour tout  x dans l'intervalle  [ 0,  + ∞ [.

            c-à-d

                   Conclusion :

                    f ' <  0   sur  l'intervalle  [ 0,  + ∞ [.

                  f est strictement décroissante sur  l'intervalle  [ 0,  + ∞ [.

                  Etudier sa limite éventuelle en + ∞.

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            Tableau de variation:

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       2. On définit sur IN  la suite ( un ) par son terme général.

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               a.  Justifier que si  n   ≤  x  ≤   n + 1     alors 

                           f ( n + 1 )  ≤  f ( x )   ≤ f (  n

                       Comme n est dans IN,  on a  n et  n + 1 dans l'intervalle  [ 0  ,  + ∞ [ .

                      Or sur cet intervalle f est décroissante.

                       Donc :       si   n  ≤ x ≤ n + 1  alors      f( n + 1 )  ≤  f( x )   ≤ f(  n

                                Conclusion :  On a bien l'impication .

                    b. Montrer , sans chercher à calculer un , que pour tout 

                             f( n + 1 )  ≤   un  ≤  f (  n

                         Sur l'intervalle  [ n , n + 1 ]  la fonction f est définie continue et bornée par f( n + 1 ) et f( n ).

                         D'après l'inégalité de la moyenne  on a donc:

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            D'après le Th des gendarmes on a :

                12k

                Conclusion:   La suite ( un ) converge vers 0

                    3. Soit la fonction F définie sur  l'intervalle [ 0 , + ∞ [ par:

                           F( x ) =  ( ln( x + 3 ) ) 2  

                         a. Justifier  la dérivabilité de F sur  [ 0 , + ∞ [ et déterminer

                           pour tout réel positif x le nombre  F ' ( x ) .

                            On a : F = w2    où la fonction  w : x  ln ( x + 3)  de la première question.

                          On a vu que w était dérivable sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.                        

                           Donc la fonction w2  est définie et dérivable  sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                                 Ainsi : F est définie et dérivable  sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.

                              On a :   F '  = 2 w  w '

                            Soit x ≥ 0.

                               On a :   F ' ( x ) = 2   ln( x + 3 )  × ( 1 / ( x + 3 ) ) = 2 f ( x )

                           Conclusion : F ' ( x ) = 2  f ( x )      pour tout réel positif x 

                        b. On pose pour tout entier naturel n , 

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                               Calculer In   .

                           Comme F ' = 2 f   sur  [ 0 , + ∞ [  une primitive de f sur

                         l'intervalle  [ 0 , + ∞ [   est donc 0,5 F.

                      Donc : 

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                    4. On pose , pour tout entier naturel n ,

                                Sn = u0 + u1…............ + un − 1   

                          Calculer Sn . La suite ( Sn ) est-elle convergente ?

                           Soit n un entier naturel quelconque.

                         On a :

                    17k

                Ainsi :

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