Devoir n° 10 21 mars 2015 TS1
EXERCICE 1
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [ 0, + ∞ [. par:
1. Montrons que la fonction f est définie et dérivable sur l'intervalle [ 0, + ∞ [.
f est le produit des fonctions w : x → ln ( x + 3) et v : x → 1 / ( x+ 3).
La fonction u : x → x + 3 est définie dérivable et strictement positive sur
l'intervalle [ 0, + ∞ [.
Donc la fonction w = ln o u est définie et dérivable
sur l'intervalle [ 0, + ∞ [.
De plus la fonction 1 / u est également définie et dérivable sur l'intervalle [ 0, + ∞ [.
On en déduit que f est définie et dérivable dans l'intervalle [ 0, + ∞ [.
Etudier le signe de sa fonction dérivée f '.
f ' ( x ) est du signe de 1 − ln( x + 3 ) pour tout x dans l'intervalle [ 0, + ∞ [.
c-à-d
f '( x ) est du signe de ln( e ) − ln( x + 3 ) pour tout x dans l'intervalle [ 0, + ∞ [.
Mais x + 3 > e > 0 pour tout x dans l'intervalle [ 0, + ∞ [.
Donc comme ln est strictement croissante sur ] 0, + ∞ [
on a ln( e ) − ln( x + 3 ) < 0 pour tout x dans l'intervalle [ 0, + ∞ [.
c-à-d
Conclusion :
f ' < 0 sur l'intervalle [ 0, + ∞ [.
f est strictement décroissante sur l'intervalle [ 0, + ∞ [.
Etudier sa limite éventuelle en + ∞.
Tableau de variation:
2. On définit sur IN la suite ( un ) par son terme général.
a. Justifier que si n ≤ x ≤ n + 1 alors
f ( n + 1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( n )
Comme n est dans IN, on a n et n + 1 dans l'intervalle [ 0 , + ∞ [ .
Or sur cet intervalle f est décroissante.
Donc : si n ≤ x ≤ n + 1 alors f( n + 1 ) ≤ f( x ) ≤ f( n )
Conclusion : On a bien l'impication .
b. Montrer , sans chercher à calculer un , que pour tout
f( n + 1 ) ≤ un ≤ f ( n )
Sur l'intervalle [ n , n + 1 ] la fonction f est définie continue et bornée par f( n + 1 ) et f( n ).
D'après l'inégalité de la moyenne on a donc:
D'après le Th des gendarmes on a :
Conclusion: La suite ( un ) converge vers 0
3. Soit la fonction F définie sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [ par:
F( x ) = ( ln( x + 3 ) ) 2
a. Justifier la dérivabilité de F sur [ 0 , + ∞ [ et déterminer
pour tout réel positif x le nombre F ' ( x ) .
On a : F = w2 où la fonction w : x → ln ( x + 3) de la première question.
On a vu que w était dérivable sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.
Donc la fonction w2 est définie et dérivable sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.
Ainsi : F est définie et dérivable sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.
On a : F ' = 2 w w '
Soit x ≥ 0.
On a : F ' ( x ) = 2 ln( x + 3 ) × ( 1 / ( x + 3 ) ) = 2 f ( x )
Conclusion : F ' ( x ) = 2 f ( x ) pour tout réel positif x
b. On pose pour tout entier naturel n ,
Calculer In .
Comme F ' = 2 f sur [ 0 , + ∞ [ une primitive de f sur
l'intervalle [ 0 , + ∞ [ est donc 0,5 F.
Donc :
4. On pose , pour tout entier naturel n ,
Sn = u0 + u1 + …............ + un − 1
Calculer Sn . La suite ( Sn ) est-elle convergente ?
Soit n un entier naturel quelconque.
On a :
Ainsi :
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