FEUILLE n° 2. EX Nombres Complexes Oct 2012 TS

            FEUILLE n° 2    D'EXERCICE SUR LES NOMBRES COMPLEXES  Oct 2012  TS 

 

      EXERCICE 1 

         1. Soient des réels x , y , symbole.gif , r avec r > 0 .

           Etablir que:   

               equivalence483.gif  

          2. Mettre les nombres complexes z suivants sous la forme trigonométrique 

                                    formetrigo.gif  

                                           où     r = | z |      

           puis représenter les points images.     

          a.   z = - 1 + i √3           b.        z = 1 + i              c.    z =  √2  -  i√2  

          d.       z =  3√2 i       e.    z = - 3         f.     z = 4      g.      z = - 2 i

            METHODE : 

                  Calculer | z | . Constater que | z |  ≠  0  .  Poser

                                               formules9173.gif 

                      Avec le cercle trigo trouver un réel symbole.gif  qui convienne.

                      Ecrire alors 

                                      formetrigo.gif

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     EXERCICE 2.

                 1. Quelle est la forme algébrique de 1 / i     ?

                 2.    Donner la forme trigonométrique   du nombre complexe

                                                     quotient159.gif

                3. Donner la forme trigonométrique   du nombre complexe

                      quotient3482.gif                                                                               
                   
         ( On pourra d'abord mettre le numérateur et le dénominateur sous la forme trigonométrique ) 
                                        
               4. Mettre le nombre complexe        z = ( 1 + i ) ( - 1+ i √3 )  

                    sous la forme trigonométrique
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         EXERCICE 3

                       ( Extrait d'exercice de bac )

                       Le plan est muni d'un repère orthonormal direct:

                       repere-orthonormal-avec-u-et-v.gif

                      ( Unité graphique  4 cm ) 

                      Soit le polynôme   L( z ) = z3 + 3 z2  + 3 z -  63     où  z est

                      dans l'ensemble des nombres complexes.      

                     1. Calculer L( 3 ).

                     2. Résoudre L( z ) = 0   dans l'ensemble des nombres complexes.      

                         On donnera la forme algébrique et la forme trigonométrique des

                         solutions.

                     3. Placer dans le plan  les points  K( 1 + i ) , F ( 1 - i )  et  E( - i√3 ).

                         Soit le point Q image du point E par la symétrie centrale

                          de centre F.

                          Donner l'affixe de Q. 

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    EXERCICE 4             

             Le plan est muni d'un repère orthonormal direct:

                       repere-orthonormal-avec-u-et-v.gif

           Soit z un nombre complexe différent de - 1 .

            On pose :

                                 egalite1001.gif

           1. Trouver et représenter l'ensemble de points M( z ) du plan tels 

                 que Z soit un imaginaire pur c'est-à-dire 

                 imapur.gif

            2. Trouver et représenter l'ensemble de points M( z ) du plan tels 
                   que Z soit un réel.

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            EXERCICE 5        

               Le plan est muni d'un repère orthonormal direct:

                       repere-orthonormal-avec-u-et-v.gif

                 Déterminer et représenter l'ensemble des points M(z) du plan

                  tels que | z + 2 - 3 i | = | z + 1+ i |

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           EXERCICE 6

                 Soit P(z) une polynôme à cœfficients réels .

                 Soit z0  un nombre complexe non réel   tel que P( z0) = 0.

                  Donner alors une autre racine de P(z) sans calcul.

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            EXERCICE 7

                Résoudre  dans l'ensemble des nombres complexes 

                       z2  = 1 + i  

               (  On pourra écrire les trois égalités:

                    •   module de z2   est égal  à module de  1 + i

                    •  Re( z2   )   est égal à Re( 1 + i )

                    •  Im( z2   )   est égal à Im( 1 + i )            )

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             EXERCICE 8              

                   Le plan est muni d'un repère orthonormal direct:

                       repere-orthonormal-avec-u-et-v.gif

                      Le point C( - 1 - i ) appartient-il à la droite du plan 

                     passant par les points  A( 1 + 3 i ) et B( - 2 - 3 i )  ?   

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              EXERCICE 9          

                Le plan est muni d'un repère orthonormal direct:

                       repere-orthonormal-avec-u-et-v.gif

                Soit les points du plan A( 1 + 3 i ) , B( 3 + i ) et  C( 4 + 2 i ).

                1. Trouver la forme algébrique et la forme trigonométrique du quotient :

                          quotient4736.gif

               2.  Représenter les points A , B et C.

                    Que peut-on dire du triangle ABC ?

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              EXERCICE 10

             1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes  z3  = 1 .

              2. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes  

                            equation753-1.gif

                   ( On remplacera z par x + i y . On utilisera le fait 

                     qu'un nombre complexe est nul si et seulement si

                           sa partie réelle est nulle

                          et sa partie imaginaire est nulle. )

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