INFO TEST 9/2/11 BTS PROB

    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

       NOM :   ….                    Prénom : …………….              Date : ……….            Classe : ….

   • Dans une fête foraine un jeu consiste d’abord à faire tourner une roue comportant 5 secteurs égaux

        numérotés de 1 à 5. 

        ◊ Si le joueur obtient le secteur 1 ou le secteur 2 il extrait simultanément trois boules d’une urne

          U1 contenant 4 boules blanches et 16 boules rouges.

        ◊ Si le joueur obtient l’un des autres secteurs il tire alors simultanément  

           deux boules d’une urne  U2  contenant 3 boules blanches et 7 boules rouges.

           Le joueur gagne une peluche si les boules qu’il a sont toutes blanches.

           Quelle est, pour un joueur, la probabilité de gagner une peluche ?

-------------------------------------------------------------------------------

     Réponse:  On peut faire un arbre pondéré .

           Ici trois expériences aléatoires interviennent.

       ••  L'expérience consistant à faire tourner la roue admet comme univers de possibles

           Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } .

                                                 

        On est dans une situation d'équiprobabilité.

         L'événement noté U1  = { 1 , 2  } a une probabilité de

         P(U1) = Card(U1)  / Card( Ω )     

          Ainsi:   P(U1)=  2 / 5  

         L'événement noté U2  = { 3 , 4 , 5 } a une probabilité de

         P(U2) = Card(U2)  / Card( Ω )     

         Ainsi:   P(U2)=  3 / 5

                                                         

  •• L'expérience consistant à tirer trois boules simultanément de l'urne U1   

             admet comme univers des possibles   Ω' , l'ensemble des parties de 3 boules

             de l'urne U1 qui en contient 20.  

              Card(  Ω' ) = C20 3  = 1140

               On est dans une situation d'équiprobabilité.

                L'événement B' : " Avoir les trois boules blanches" est de cardinal
 
                 Card( B' ) = C4 3  = 4
    
               L'événement B  a une probabilité de

                P( B ') = Card( B ')  / Card( Ω ' )    

                  Ainsi:   P( B' )=  4 / 1140 = 1 / 285  

            •• L'expérience consistant à tirer deux  boules simultanément de l'urne U2   

             admet comme univers des possibles Ω'' , l'ensemble des parties de 2 boules

             de l'urne U2 qui en contient 10.

              Card(  Ω'' ) = C10 2  = 45

               On est dans une situation d'équiprobabilité.

                L'événement B' ' ,  " Avoir les deux boules blanches" , est de cardinal:
 
                 Card( B''  ) = C3 2  = 3
    
               L'événement B'' a une probabilité de

                P( B'' ) = Card(B'' )  / Card( Ω '' )      

                Ainsi:   P( B'' ) =  3 / 45 = 1 / 15  

         •• Soit G l'événement " Gagner" c'est-à-dire " n'avoir que des boules blanches " est:

                                      G = ( U1  ∩  B' )  U ( U2 ∩ B' ')

             Comme  ( U1  ∩  B' )  et  ( U2  ∩  B'' ) sont incompatibles on a :

                       P(  G  ) = P( U1  ∩  B' ) + P ( U2 ∩ B' ' )

       c-à-d         P(G) = P( U1  ) × P(  B' / U1)  +  P( U2  ) × P(  B' ' / U2) 

               c-à-d

              P(G) = ( 2 / 5 )  × ( 1 / 285 )    + ( 3 / 5 )× ( 1 / 45 )
       
               D'où:
 Conclusion : La probabilité de gagner est :  
                                      P( G) ≈ 0,015

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

  • On tire successivement avec remise deux boules d’une urne contenant

     5 boules blanches et 15 boules rouges.

     Soit les événements :

        A : «  Obtenir deux boules rouges »

        B : «  Obtenir une boule de chaque couleur »

     1. Trouver P( A ) , P( B ) , P( A ∩ B ).

     2.Les événements A , B sont-ils incompatibles ? indépendants ?

                                                                     

 -------------------------------------------------------------------------

   Réponse:             

    1.  Trouvons P( A ) , P( B ) , P( A ∩ B ).

          L'univers des possibles Ω est l'ensemble des 2 listes des 20 boules de l'urne.

           Card( Ω ) = 202  = 400

          Card( A ) = 152 = 225

         Card( B ) = 5 × 15 + 15 × 5 = 150
    
       Card( (A ∩ B ) = 0  car       A ∩ B  = Ø
 
         On est dans une situation d'équiprobabilité.

             P( A ) = Card( A ) / Card( Ω )
            P( B ) = Card( B ) / Card( Ω )
          Ainsi :   P( A ) = 225 / 400 = 9 / 16
                       P( B )= 150 / 400 = 3 / 8
                       P( (A ∩ B ) = 0

            2.  On a :   A ∩ B  = Ø 

                 Donc les événements A , B sont incompatibles.

                On a :    0  ≠ (   9 / 16   )  ×  (  3 / 8 )
                c-à-d         P(  A ∩ B  )   ≠   P( A ) ×  P( B )   

               Donc   A , B   ne sont pas indépendants.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------