INFO 3 DV n° 7 1S 27 mars 2010

             INFO 3             Devoir n ° 7                  27 Mars 2010   reporté au 17 Avril 2010

         EXERCICE 3

        Le but de l'exercice est d'utiliser la dérivée seconde d'une fonction k pour obtenir

                         le sens de variation de la fonction k.

                        Soit la fonction k : x → x4 -  x3 + x2 - 0,75 x + 1.

             1. Trouver la fonction dérivée k ' de k.

                    La fonction polynôme k est dérivable sur IR.

                   Conclusion :  k ' : x  → 4 x3 -  3 x2 + 2 x - 0,75 .

             2. Trouver la fonction dérivée k ' '  de la fonction k '.

                   La fonction polynôme k  ' est dérivable sur IR.

                 On a :   k ' ' : x → 12 x2 - 6 x + 2 

                 Ainsi :         k ' ' : x → 2 ( 6  x2 - 3 x + 1) 

                    Conclusion :  k' ' : x  → 2 (  x2 -  3 x +  1 )  

                k ' '  s'appelle la fonction dérivée seconde de k.

             3. a. Calculer k ' ( 0,5 ).

                       On a :   k ' ( 0 , 75 ) = 4 × 0,753  - 3  × 0,75 2  + 2  ×  0,75  - 0,75 = 0

                     Conclusion :  k ' ( 0,75 ) = 0

                  b. Donner le signe de k ' ' .  

                        Soit x dans IR.

                         k ' ' ( x ) = 2 ( 6  x2 - 3 x + 1 )

                      Le signe de k ' ' ( x ) est celui de   6  x2 - 3 x + 1 .

                      Le discriminant est :   Δ

                       Δ = ( - 3 )² - 4 ( 6 )( 1 ) = 9 - 24 = - 15

                             - 15 < 0

                      Donc   Δ  < 0

                   Donc  6  x2 - 3 x + 1 est du signe de  a = 6  pour tout réel x.

                          On a :    k ' ' > 0 sur IR.

                       Conclusion :  k ' ' ( x ) > 0 pour tout réel x.     

                      En déduire le tableau de variation de  k ' . 

                         Comme on a :    k ' ' > 0 sur IR

                         la fonction k ' est strictement croissante sur IR.                        

x              - ∞                                                                                       + ∞                                              
k ' '(x)                                              +  
k '( x )                                              ↑  
                  

             4. Déterminer alors  le signe de k ' . 

                   k ' est strictement croissante sue IR et est nulle pour x = 0, 75.

                         Donc  :          k ' < 0   sur l'intervalle ] - ∞ ,  0, 75 [

                                             k ' >  0   sur l'intervalle ] 0, 75   ,  + ∞ [

                          Conclusion : 

                                             k ' < 0   sur l'intervalle ] - ∞ ,  0, 75 [

                                             k ' >  0   sur l'intervalle ] 0, 75   ,  + ∞ [ 

                                              k ' ( 0, 75 ) =  0              

               5. En déduire alors le tableau de variation de la fonction k.

                        (  La courbe de k  n'est pas demandée . )

                  Ainsi :                        

x              - ∞                                                                                       + ∞                                               0,75
k  '(x)                    -                          0                       + 
k ( x )                       ↓                       k( 0,75 )                   ↑