Nombre de Mersenne. Nombre parfait

                       Nombre de Mersenne. Nombre parfait             TS  Spé. maths.

          EXERCICE 1:

         On pose:      Mn = 2n − 1   pour tout entier naturel non nul n

            ( NOMBRES DE MERSENNE )

         1. Donner les entiers M1, M2 ,.... , M10 .

          2. Conjecturer une condition sur n pour que:  3 | M.

         3. Etablir cette conjecture.

         4. Mn peut-il être pair ?

         5. Conjecturer une condition sur n pour que:  5 | M.

         6.  Établir cette conjecture.

         7. On considère également la suite récurrente ( un ) définie sur IN

            définie par :

                •    u0 = 4

                •    un + 1   = un2 − 2      pour tout entier naturel  n

           On admet le th. d'un mathématicien Lucas suivant:

            <<    Pour tout entier naturel n tel que n ≥ 2 :

                  Mn  est premier   ⇔     Mn  |  un − 2           >>

                A-t-on M5   qui est premier d'après ce th.  ?

      EXERCICE 2

      Un entier naturel n est dit parfait quand la somme de ses

       diviseurs dans IN* est égale à 2 n .

       Par exemple:         Soit n = 6     n est dans IN.

                                      n = 2 × 3

           Les diviseurs de 6 sont : 1  ; 2  ; 3  ; 6

            Or    1  + 2  + 3  + 6 = 12

                  et       12 = 2 × 6

              6 est donc  un nombre parfait.

           Un résultat du Mathématicien Euclide dit:

         <<    Soit n un entier naturel .  Soit  Mn + 1 =   2n + 1 − 1

                Alors:

               2n + 1 − 1   est premier  ⇒  2n Mn + 1     est parfait        >>

         1. Les entiers naturels  8 , 10 , 26 sont-ils parfaits ?

          2. On considère M5    = 24+1 − 1 

               Donner alors un nombre parfait , en utilisant la dernière 

               question de l'exercice 1.   et le résultat d'Euclide.

        3.  On veut expliquer le résultat d'Euclide.

            On pose  A =  2n Mn + 1 . On suppose Mn + 1 que est premier.

            On veut savoir si A est parfait.

           a. Donner tous les diviseurs de  2n  , puis ceux de A.

           b. Montrer que leur somme est    S= (2n+1 − 1 ) 2n + 1  

           c.  Comparer S et  2 A.

                Conclure.

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