Nombre de Mersenne. Nombre parfait TS Spé. maths.
EXERCICE 1:
On pose: Mn = 2n − 1 pour tout entier naturel non nul n
( NOMBRES DE MERSENNE )
1. Donner les entiers M1, M2 ,.... , M10 .
2. Conjecturer une condition sur n pour que: 3 | Mn .
3. Etablir cette conjecture.
4. Mn peut-il être pair ?
5. Conjecturer une condition sur n pour que: 5 | Mn .
6. Établir cette conjecture.
7. On considère également la suite récurrente ( un ) définie sur IN
définie par :
• u0 = 4
• un + 1 = un2 − 2 pour tout entier naturel n
On admet le th. d'un mathématicien Lucas suivant:
<< Pour tout entier naturel n tel que n ≥ 2 :
Mn est premier ⇔ Mn | un − 2 >>
A-t-on M5 qui est premier d'après ce th. ?
EXERCICE 2
Un entier naturel n est dit parfait quand la somme de ses
diviseurs dans IN* est égale à 2 n .
Par exemple: Soit n = 6 n est dans IN.
n = 2 × 3
Les diviseurs de 6 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6
Or 1 + 2 + 3 + 6 = 12
et 12 = 2 × 6
6 est donc un nombre parfait.
Un résultat du Mathématicien Euclide dit:
<< Soit n un entier naturel . Soit Mn + 1 = 2n + 1 − 1
Alors:
2n + 1 − 1 est premier ⇒ 2n Mn + 1 est parfait >>
1. Les entiers naturels 8 , 10 , 26 sont-ils parfaits ?
2. On considère M5 = 24+1 − 1
Donner alors un nombre parfait , en utilisant la dernière
question de l'exercice 1. et le résultat d'Euclide.
3. On veut expliquer le résultat d'Euclide.
On pose A = 2n Mn + 1 . On suppose Mn + 1 que est premier.
On veut savoir si A est parfait.
a. Donner tous les diviseurs de 2n , puis ceux de A.
b. Montrer que leur somme est S= (2n+1 − 1 ) 2n + 1
c. Comparer S et 2 A.
Conclure.
---------------------------------------------