PROJET 2 BTS1

                PROJET 2         BTS1                           MERCREDI 30 MARS 2011 

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          Vous devez rédiger les différents travaux soit à l'aide d'un traitement de texte 

          et d'un tableur, soit de façon manuscrite sur des feuilles de copie double .

          Vous devez disposer d'une calculatrice et des tables.

         Vous pouvez utiliser  le site mathemaths. com  ou un autre site mathématique.

          La clarté , la précision des argumentations seront prises en compte dans l'évaluation .

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        TRAVAIL  I

             Hagardunord est pilote d'un hélicoptère EC- 665 Tigre de l'armée de l'air du KIKISIROL.

             Il participe donc régulièrement à des entraînements qui comportent une partie

             théorique sur la connaissance du  matériel, la stratégie , une partie

             sur simulateur de vol et une partie navigation à tirs réels de missiles.

             Aujourdhui il participe justement à une séance d'entraînement au tir réel

             de missiles sur des cibles en bois .

             Les entraînements des semaines précédentes conduisent à penser :

            • S'il a réussi un tir , la probabilité qu'il réussisse le suivant est 80%.

            • S'il a raté un tir , la probabilité qu'il réussisse le suivant est de 60%.

             • La probabilité qu'il réussisse le premier tir est 70%.

             Soit n dans IN* .

             On note An  l'événement : "  il a réussit le n ième tir."

            1.a. Préciser P ( A1  ).

                   A l'aide de la lecture attentive de l'énoncé préciser:

                   P ( An + 1  /  An  ) ,   

                   

              b . On note pn =  P(   An   ) .     

                • Exprimer      .

                • Exprimer   P ( An + 1   ∩ An  )  et

                                   

                            en fonction de  pn .

                 • Reproduire et pondérer l'arbre suivant:

                                         

              2. En déduire que  P ( An + 1   ) = 0, 2 pn  + 0,6    pour tout n dans IN.   

              3. On pose vn  = pn  -  0,75   pour tout n dans IN.  

                   a. Montrer que  vn + 1  =  0,2  vn     pour tout n dans IN.  

                   b. Expliquer pourquoi   vn   =   - 0,05   × 0,2 n - 1  

                   c . En déduire pn en fonction de n.

               4. Pour un très grand nombre n de tirs quelle est la probabilité que

                   Hagardunord  réussisse le  n ième tir ?

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             TRAVAIL II

         La société  Copitou est spécialisée dans la saisie informatique

         de documents d'entreprises.

         Après une première saisie, chaque document est renvoyé à

         l'entreprise pour vérification.

             Les résultats demandés seront donnés sous forme de valeurs

             décimales arrondies à 10- 3  près.

           Le délai de retour de la première saisie vers l'entreprise est normalement

           de deux semaines.

           Une étude statistique a montré que la probabilité qu'une saisie

           choisie au hasard soit effectivement renvoyée à l'entreprise

           dans le délai normal est égale à 0,9.

           Soit X la variable aléatoire qui , à tout échantillon de n saisies

           choisies au hasard par tirage au sort , associe le nombre de saisies

            pour lesquelles le délai de retour n'a pas été respecté.

             1. a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ?

                     ( On expliquera )

                 b. A présent pour cette question  n = 20 .

                     Trouver alors la probabilité P( X = 2 ).

                 c. Trouver l'espérance de X , puis son écart type.

              2. A présent pour cette question  n = 100.

                  a. Quelle est l'espérance de X?

                  b. On admet que X peut être approchée par une variable

                      aléatoire Y de loi de Poisson de paramètre λ > 0 .

                      Donner le paramètre λ.

                   c.  En utilisant cette loi de poison , calculer une valeur

                       approchée des probabilités  P( Y = 4 )  puis P(  Y > 2 ).

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            TRAVAIL  III

            On lance 5 fois de suite un dé pipé dont les faces sont

            numérotées de 1 à 6.

            Soit pi   la probabilité d'apparition de la face numérotée i avec i

            compris entre 1 et 6.

         1.  • On admet que les faces 1 ; 3 et 5 ont la même probabilité

               d'être obtenues.

             • De même les faces 2 ; 4  ; 6  ont la même probabilité 

               d'être obtenues . 

             • La  probabilité  d'obtenir le n° 2 est le double de celle 

              d'avoir le n° 3  .

                Trouver  pi  pour i variant de 1 à 6.

          2. On lance 5 fois de suite le dé.

              Soit X la variable aléatoire égale au nombre de résultas

               pairs obtenus.

             a. Trouver la loi de probabilité de X.

              b.Trouver son espérance et son écart type.

         3. A présent on lance n fois de suite le dé avec n dans IN*.

              Soit An l'événement " Obtenir au moins  une fois un chiffre pair."

              a . Trouver en fonction de n la probabilité P( An ).

              b . Pour quelles valeurs de n a -t  -on    P( An ) > 0,999  ?          

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                                                    Bon courage