TS1 INFO EX1 BAC BLANC 15 fév2014

                                         INFO                   BAC BLANC             TS           15 février  2014

         EXERCICE 1                           

        Domaineex1bcnl

           1.a. Montrons que le couple ( a , b ) est solution du système:

                            100 a + b = 0

                            50 a + b = - 1 / 2

                • Comme le point B ( 100 ; 100 ) appartient à la courbe de f on a:

                         100 = 100 e 100 a + b       c-à-d    1 = e 100 a + b      c-à-d   100 a + b = 0

               • Comme le point C( 50 ; 50 / √e   )   appartient à la courbe de f on a:

                    50  / √e   = 50 e 50 a + b         c-à-d    1  / √e   =  e 50 a + b      

                  c-à-d     ln( 1  / √e  ) =    50 a + b      c-à-d        - ln(√e  ) =    50 a + b

                 c-à-d      - (1 / 2 )  ln( e ) = 50 a + b     c-à-d      - 1 / 2 =   50 a + b 

                         Conclusion : OUI.   Les réels a et b vérifient bien le système.

                    b.  Déduisons que f( x ) = 100 / e   ×  0,01 x e0,01  x    .

                                     Résolvons pour cela le système précédant.

                           Par différence membre à membre b disparaît.

                           On a :    50 a = 1 / 2      c-à-d      a = 0,01

                            En reportant  dans 100 a + b = 0  il vient    b = - 100× 0,01 = - 1

                                 c-à-d    b = - 1

                          Conclusion :  L'expression de f est donc pour tout réel x :

                                                        f ( x ) = x e 0,01 x - 1 

               2. Donnons la limite de f en + ∞.

                   +  ∞  est une extrélité de l'intervalle de définition ] -  ∞ , +  ∞ [ .

                       On peut faire la recherche.

                      On a :    lim ( 0,01 x - 1  ) = +  ∞

                                    x → + ∞

                      et       lim eX   = + ∞     ( cours )

                                X → + ∞

                      Donc      lim  e 0,01 x - 1    = + ∞

                                       x → + ∞

                       Ainsi    lim(   x  e 0,01 x - 1    ) = +  ∞

                        Conclusion :    lim f  = + ∞

                                                      +  ∞

       3. a. Montrons que pour tout réel x on a  :  f( x ) =  ( 100  / e )× 0,01 x  e 0,01 x   .

                   Soit x dans IR.

                On a :      f ( x ) = x e 0,01 x - 1    =  100 ×  0,01 x  e 0,01 x    e- 1  

                c-à-d    f ( x ) =  ( 100 / e )  ×  0,01 x  e 0,01 x  

                      Conclusion : L'égalité est avérée sur IR.

            b. Donnons la limite de f en - ∞.

               On peut faire la recherche car - ∞ est une extrémité de l'intervalle

              de définition  de f.

                 On a :    lim ( 0,01 x ) = - ∞

                                x →  - ∞

                        et   lim X eX   = 0                  (  Cours )

                              X →  - ∞

                 Donc :

                              lim ( 0,01 x  e 0,01 x    ) = 0

                                x →  - ∞

                     c-à-d                      

                           lim ( ( 100 / e ) 0,01 x  e 0,01 x    ) = 0

                                x →  - ∞

                    Conclusion:   lim f = 0

                                           - ∞

          4. Etudions les variations de f et donnons son tableau de variation complet.

                   • Le fonction  affine  u: x → 0,01 x - 1 est définie et dérivable dans IR.

                        Donc la fonction eu ,  c-à-d ,   x → e0,01 x - 1    est définie et dérivable dans IR

                        et a pour fonction dérivée   x → 0,01  e0,01 x - 1    

                   • La fonction  affine v: x → x  est définie et dérivable dans IR et a pour

                      fonction dérivée      v ' : x → 1 

                  Donc la fonction f est définie et dérivable dans IR comme produit de telles fonctions.

                                                 f = v eu   

                                   Deriv951   

                    Comme  eu > 0  sur IR  f ' est du signe de  v ' + v u '                    

                                                             Fpr47

                      Ainsi   f ' ( x ) est du signe de 0,01 x + 1   pour tout x dans IR.

                         f ' ( x ) = 0  ssi  x = - 100

                        f ' ( x ) < 0  ssi  x < - 100

                        f ' ( x ) > 0  ssi  x > - 100

             Conclusion: f est strictement décroissante sur ] - ∞ , -100 ]

                                 f est strictement croissante sur [ - 100 , + ∞ [

                              Tableau de variations:

              Tabv456

                Q55

               Doc753 1

           Doc754

          Conclusion:  

          Sur   ] - ∞  , 0 [ U ] 100 , + ∞ [   ( Γ ) est au dessus de D.

          Sur   ] 0  , 100 [    ( Γ ) est en dessous D.

      Les point points   B( 100 ;100 ) et O( 0 ; 0 ) sont communs.

     Derprd

      Calculder

         Doc756

      Ident159

      Conclusion:     

            Cl456

       b. Calculons l'intégale:

      Cl248

     c. Calculons A.

      Fi2478

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