Utilisation des congruences TS spé maths janvier 2016
EXERCICE 3
Trouver les entiers naturels n tels que 5n − 2 ≡ 0 [ 3 ].
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REPONSE: La congruence s'écrit : 5n ≡ 2 [ 3 ] et 0 ≤ 2 < 3
Le modulo est 3 fait penser à la division euclidienne par 3.
On va donc regarder quand est-ce que le reste de la
division euclidienne de 5n par 3 est 2.
On va commencer par regarder le reste de la division euclidienne de 5 par 3.
On a : 5 = 3 x 1 + 2 0 ≤ 2 < 3
On a donc : 5 ≡ 2 [ 3 ]
Ainsi: 5n ≡ 2n [ 3 ] pour tout entier naturel n.
Le problème se ramène donc à chercher quand est-ce que le reste de la division
euclidienne de 2n par 3 est 2 .
• Cherchons le plus petit entier naturel k non nul tel que 2 k ≡ 1 [ 3 ].
On a : 21 ≡ 2 [ 3 ]
Puis : 22 ≡ 22 [ 3 ] car 2 2 ≡ 1 + 3 x 1
c-à-d 2 2 ≡ 1 [ 3 ]
C'est: k = 2
• Discutons suivant les restes de la division euclidienne de n par 2
c-à-d suivant que n est pair ou impair.
Il existe un unique couple (q , r ) dans IN2 tel que n = 2 x q + r avec 0 ≤ r < 2
( r = 0 ou r = 1 )
On a vu que: 2 2 ≡ 1 [ 3 ]
Donc 2 2 x q ≡ 1q [ 3 ]
c-à-d 2 2 x q ≡ 1 [ 3 ]
Donc 2 2 x q+ r ≡ 1x 2r [ 3 ]
c-à-d 2 n ≡ 2r [ 3 ]
♦ Pour r = 0 on a 2 n ≡ 20 [ 3 ] c-à-d 2 n ≡ 1 [ 3 ]
♦ Pour r = 1 on a 2 n ≡ 21 [ 3 ] c-à-d 2 n ≡ 2 [ 3 ]
Nous voulons : 2 n -≡ 2 [ 3 ]
Cela correspond à r = 1
Ainsi les entiers naturels n cherchés sont les entiers naturels impairs.
Conclusion: Ce sont les entiers naturels n impairs.
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