EXERCICE 3 sur les congruences

                                     Utilisation des congruences            TS spé maths   janvier 2016

             EXERCICE 3 

                 Trouver les entiers naturels n tels que  5n − 2    0 [ 3 ].

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      REPONSE:     La congruence s'écrit :     5n  ≡  2   [ 3  ]        et  0 ≤ 2 < 3

                   Le modulo est 3  fait penser à la division euclidienne par 3.

                   On va donc regarder quand est-ce que le reste de la

                  division euclidienne de 5n   par 3 est  2.

               On va commencer par regarder le reste de la division euclidienne de 5 par 3.

                On a :      5 = 3 x 1 + 2   0 ≤ 2 < 3

                On a donc :    5 ≡  2 [ 3 ]

                 Ainsi:         5n ≡ 2n   [ 3 ]   pour tout entier naturel n.

                Le problème se ramène donc à chercher quand est-ce que le reste de la division

                 euclidienne de 2par 3 est 2 .          

      •  Cherchons le plus petit entier naturel k non nul tel que   2 k  ≡ 1  [ 3  ]. 

            On a :    21 ≡ 2  [ 3  ]

            Puis :    22 ≡ 22  [ 3  ]       car    2 2  ≡ 1  + 3 x

            c-à-d     2 2  ≡ 1 [  3  ] 

             C'est:  k = 2

          Discutons suivant les restes de la division euclidienne de n par 2

               c-à-d suivant que n est pair ou impair.

              Il existe un unique couple (q , r ) dans IN2 tel que n = 2 x q +  r  avec   0 ≤ r < 2  

                     ( r = 0 ou r = 1 ) 

              On a  vu que:     2 2  ≡ 1 [  3  ] 

             Donc                    2 2 x q  ≡ 1q [  3  ] 

            c-à-d                      2 2 x q  ≡ 1 [  3  ] 

            Donc                      2 2 x q+ r  ≡ 1x 2 [  3  ] 

            c-à-d                         2 n  ≡  2 [  3  ] 

          ♦  Pour  r = 0  on a   2 n  ≡  2 [  3  ]    c-à-d    2 n  ≡ 1  [  3  ]

          ♦ Pour  r = 1  on a   2 n  ≡  2 [  3  ]    c-à-d    2 n  ≡ 2  [  3  ]

               Nous voulons :             2 n  -≡  2  [  3  ] 

              Cela correspond à r = 1

          Ainsi les entiers naturels n cherchés sont les entiers naturels impairs.

           Conclusion: Ce sont les entiers naturels n  impairs.

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