INFO LISTE D'EX

 

  INFO LISTE D'EX             Leçon  1             FONCTIONS - ENCHAINEMENTS           1S1   Sept. 2009    

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     EX 1.       Décomposer chacune des fonctions suivantes: 

                       f : x→ √ ( 2 x - 4 )

                       g :  x→   1  / ( x + 5 )

                       h : x→ ( 3 - x )² 

                       k : x→ 1 / √ (  x + 1)

             ( On pourra donner leur domaine de définition. )

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 Réponse:       •  f : x→ √ ( 2 x - 4 )

                          Df  = { x dans IR  / 2 x - 4 ≥ 0 } = { x dans IR  /   x  ≥ 2  }

                          c-à-d    Df  = [ 2 , + ∞ [

                          Soit les fonctions :     u : x→ ( 2 x - 4 )  et  v : x→ √ x

                          Alors  vou : x→ √ ( 2 x - 4 )

                         Conclusion:  f = v o u

                       •  g : x→ 1  / ( x + 5 )

                           Dg  = { x dans IR  / x + 5 ≠ 0 }

                           c-à-d  Dg  = IR - { - 5 }

                          Soit les fonctions :      u : x→ x + 5  et  v : x→ 1/ x 

                          Alors  vou : x→ 1  / ( x + 5 )

                          Conclusion:  g = v o u

                        •  h : x→ ( 3 - x )²

                           Dh  =  IR 

                           Soit les fonctions :       u : x→   3 - x   et    v : x→ x² 

                           Alors  vou : x→  ( 3 - x )²

                           Conclusion:  h  = v ou

                         •  k : x→ 1 / √( x + 1 )

                            Dk  = { x dans IR  / x + 1 > 0 } = { x dans IR  / x > - 1  }

                            Dk  = ] - 1 , + ∞ [ 

                             Soit les fonctions :    u : x→  x + 1

                                                             v : x→ √ x

                                                             w : x→ 1 / x

                           Alors      w o v o u : x→  1 / √( x + 1)

                          Conclusion:  k  = w o v o u

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  EX 2 .   Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                         Soit les fonctions   u : x→ x² 

                                                       v : x→ x - 2

                    1.  Représenter u et v , ainsi que la première bissectrice.

                    2.  Représenter les points   A ( - 2 ;   v o u( - 2 ) )

                           et   B( - 1 , v o u ( - 1 ) ).

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 Réponse:   1 ) et  2 )

             

 

                          

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         EX 3 .      Soit les fonctions   u : x→ 1 / x 

                                                     v : x→ x² - 1 

                          Donner le domaine de définition de v o u .

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    Réponse:         On a    Dvou  = { x dans Du  /  u( x )  dans Dv  }

                            Or      Du  = IR*        et    Dv   = IR

                           Donc       Dvou  = { x dans   IR*  /  u( x )  dans  IR  } 

                                          Dvou  = { x dans   IR*  /  1 / x   dans  IR  } =   IR*

                Conclusion :     Dvou  =   IR*

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        EX 4 .         Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                          Soit la fonction f : x→ x² + x + 1

                         1.  Ecrire f( x ) sous la forme ( x- a ) ² + b  où a et b

                              sont deux réels à préciser.

                         2. En déduire une décomposition de f.

                         3.  Représenter f. ( On pourra s'aider de la parabole de référence

                             d'équation y = x². )

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    Réponse:    

                 1. Ecrivons f( x )  sous la forme ( x- a ) ² + b  avec a et b des réels.

                     Soit x dans IR.

                     On a :       f( x ) = x² +  1  x  + 1

                      c-à-d        f( x ) =   x² + 2 ( 1 / 2 ) x + 1         sachant      2 × ( 1 / 2 ) = 2 / 2 = 1

                      c-à-d         f( x ) =  x² + 2 ( 1 / 2 ) x +   ( 1 / 2 )²  - ( 1 / 2 )²   + 1        en ajoutant    1 / 4   -  1 / 4 = 0.

                      c-à-d          f( x ) =  x² + 2 ( 1 / 2 ) x + ( 1 / 2 )²   - 1 / 4  + 1

                      c-à-d          f( x ) =  ( x +  1 / 2  )²   +  3 / 4

           Conclusion:    Pour tout réel x on a :    f( x ) = ( x -  ( - 1 / 2  ) )²   + 3 / 4    

                2. Déduisons une décomposition de f.

                    Soit les fonctions :      u: x → x - ( -1 / 2 )   c-à-d     u: x → x + 1 / 2

                                                      v: x →  x²

                                                      w: x → x + 3 / 4

                                      On a :       f = w o v o u

                  Conclusion:          f = w o v o u   

                    Cela permettrait d'avoir le sens de variation de f.

                 3. Courbe de f.

                 Comme   f : x→ ( x - ( -1 / 2  ) )² + 3 / 4   , la courbe de f est l'image de la parabole

                 P: y = x²   par la translation de vecteur   ( -1 / 2 )  vect( i ) + ( 3 / 4 ) vect( j ).

                Ainsi on a :    

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