INFO EX 10 PROB 1S

INFO    10           LISTE 2       EX   DE    PROBA    1S        15 JUIN 09

            EXERCICE 10

                      On lance deux fois de suite un dé tétraèdrique , non truqué,  dont les

                       faces sont numérotées 1 ,2 , 3 , 4.

                       Soit  X la variable aléatoire qui indique la somme des deux chiffres obtenus.

                          1. Trouver la loi de probabilité de X.

                           2. Trouver l'espérance de X , E( X ) .

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  Réponses:

         On dispose d'un dé tétraèdrique dont les faces sont numérotées 1 , 2,  3 , 4.

         On jette le dé deux fois de suite.  Chaque fois , à l'arrêt , on le soulève pour noter

         le chiffre de la face cachée.

         X est la variable aléatoire qui indique la somme des deux chifres obtenus.       

         1. Donnons la loi de probabilité de X.

 

             Tableau à double entrée:

      + 1      2 3     4   
1 2     3   4 5
2   3   4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
 

            Les valeurs prises sont 2 ; 3 ; 4  ; 5 ; 6 : 7, 8.     

            Il y a 16 sommes distinctes ou égales.

            Il y a donc 16 résultats possibles dans l'univers des possibles.

            Card( Ω ) = 16

           On est dans une situation d'équiprobabilité.

       •   " Avoir la somme égale à  2 "  c-à-d  ( X = 2 )  est de cardinal 1.

             P( X = 2 ) =  Card( X = 2 ) / Card( Ω )

             P( X = 2 ) = 1 / 16 .

          •   De la même façon :

              " Avoir la somme égale à 3" c-à-d  ( X = 3 ) est de cardinal 2.

                 ( Dans le tableau la somme 3 apparaît 2 fois.

                  P( X = 3 ) = 2 / 16  

             •    ....  etc

                  La loi de probabilité de X est donc:

x 2 3 4 5 6 7 8
P( X = x ) 1 / 16 2 / 16 3 / 16 4 / 16 3 / 16 2 / 16 1 / 16 1

         2. Donnons l'espérance de X.

   E( X ) = 2 ×(  1 / 16 )  + 3 ×(   2 / 16 ) + 4 ×(  3 / 16 ) + 5 × ( 4 / 16 ) + 6 × (  3 / 16 ) + 7  × ( 2 / 16 ) +  8 × ( 1 / 16 )

        Conclusion :     E( X ) = 5