N0M: ........ PRENOM: ....... Date: 17 / 11 / 2004 BTS1 A
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• Soit p, q deux propositions.
Comparer les propositions suivantes :
NON( p ) OU ( p ET q ) NON( p ) OU q p => ( p ET q )
p | q | NON( p) | NON ( p ) OU q | p ET q | NON( p ) OU ( p ET q ) | p => ( p ET q ) |
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Conclusion : Les trois propositions sont équivalente.
• Soit la propriété définie dans IR:
2 x + 1 > 2 => 4 - x ≥ 0 où x est dans IR
Arriver par des équivalences logiques à l'ensemble solution.
c-à-d 2 x > 1 => x ≤ 4 où x est dans IR
c-à-d x > 0,5 => x ≤ 4 où x est dans IR
c-à-d NON( x > 0,5 ) OU x ≤ 4 où x est dans IR
c-à-d x ≤ 0,5 OU x ≤ 4 où x est dans IR
c-à-d x ≤ 4 où x est dans IR
Conclusion: S = ] - ∞ ; 4 ]
•Troduire avec des quantificateurs la phrase suivante:
" Pour tout réel x il existe un réel positif ou nul y tel que y =| x | "
La traduction symbolique est :
Puis en donner la négation .
La négation est:
•Compléter le tableau de vérité où p , q , r sont des propositions.
Que pouvez vous en conclure?
p | q | r | q OU r | p ET q | p ET r | p ET ( q OU r ) | ( p ET q ) OU ( p ET r) |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
On remarque que p ET ( q OU r ) équivaut à ( p ET q ) OU ( p ET r ) .
•Donner la négation de ( 5 x + 2 , x - 1 ) = ( 7 ; 3 )
en présentant une condition sur x
La négation est : 5 x + 2 ≠ 7 OU x - 1 ≠ 3
c-à-d
5 x ≠ 7 - 2 OU x ≠ 1 + 3
c-à-d
x ≠ 5 / 5 OU x ≠ 4
Conclusion : La négation est donc x ≠ 1 OU x ≠ 4
• Comparer où p , q sont deux propositions.
p ET ( p OU q ) p p ET q p OU ( p ET q )
p | q | p OU q | p ET ( p OU q) | p ET q | p OU ( p ET q ) | |||
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |||
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | |||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Ainsi p ET ( p OU q ) , p , p OU ( p ET q ) sont équivalentes
• Soit la propriété:
3x + 1 > 0 ET ( x - 5 ≤ 0 OU x + 3 > 0 ) où x est dans IR
Traduire autrement la propriété .
D'après ce que l'on a vu cela équivaut à
( 3x + 1 > 0 ET x - 5 ≤ 0 ) OU ( 3x + 1 > 0 ET x + 3 > 0 )
c-à-d
( x > - 1 / 3 ET x > 5 ) OU ( x > - 1/ 3 ET x > - 3 )
c-à-d
x > 5 OU x > - 1 / 3
c-à-d
x > - 1 / 3
Donner l'ensemble solution.
Ainsi SIR = ] - 1 / 3 + ∞ [
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