INFO TEST Logique

  N0M:  ........            PRENOM: .......        Date:  17 / 11 / 2004         BTS1 A  

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  • Soit p, q deux propositions.

      Comparer les propositions suivantes :

       NON( p ) OU ( p ET q )              NON( p ) OU q          p => ( p ET q )

p q  NON( p)    NON ( p ) OU q    p ET q      NON( p ) OU ( p ET q )      p => ( p ET q )  
0 0      1              1      0                1         1 
0 1      1            1      0              1         1
1 0      0            0      0              0         0
1 1      0            1      1              1         1

                    Conclusion : Les trois propositions sont équivalente.

  • Soit la propriété définie dans IR:

        2 x + 1 >  2    =>  4 - x  ≥ 0     où x est dans IR

     Arriver par des équivalences logiques à l'ensemble solution.

 c-à-d        2 x > 1    =>    x  ≤  4     où x est dans IR

c-à-d      x > 0,5    =>    x  ≤  4     où x est dans IR

c-à-d   NON( x > 0,5 ) OU   x ≤ 4      où x est dans IR

c-à-d        x ≤ 0,5    OU   x  ≤  4     où x est dans IR

  c-à-d       x  ≤  4     où x est dans IR

        Conclusion:  S  = ] - ∞ ; 4 ]

  •Troduire avec des quantificateurs la  phrase suivante:

    " Pour tout réel x  il existe un réel positif ou nul y tel que y =| x | "

       La traduction symbolique est :

                             forme-symbolique-1.gif 

    Puis en donner la négation .

              La négation est:

                               negation-de-forme-symbolique.gif    

•Compléter le tableau de vérité où p , q , r sont des propositions.

   Que pouvez vous en conclure?

p q r q OU r p ET q  p ET r   p ET ( q OU r ) ( p ET q ) OU ( p ET r) 
 0  0   0 0  0  0  0
 1   1  0  0  0
 0   1   0   0
0  1  1  0  0   0
 1  0   0  0
 1  0  1  1   1   1 
 1  1  0  1   1
 1  1   1   1 

   On remarque que p ET ( q OU r )  équivaut à ( p ET q ) OU ( p ET r ) .

 •Donner la négation de  ( 5 x + 2 , x - 1 ) = ( 7 ; 3 )

    en présentant une condition sur x 

    La négation est :   5 x + 2 ≠  7  OU    x - 1 ≠ 3

    c-à-d 

             5 x ≠ 7 -  2    OU      x  ≠  1 + 3 

  c-à-d   

                x  ≠ 5 / 5   OU   x   ≠  4

      Conclusion : La négation est donc   x  ≠  1  OU x  ≠ 4   

    • Comparer où p , q sont deux propositions.

   p ET ( p OU q )        p        p ET q          p OU ( p ET q )

p q     p OU q           p ET ( p OU q)        p ET q           p OU ( p ET q )                                               
0 0        0             0         0                 0      
0 1        1            0          0                  0      
1 0        1             1         0                  1      
1 1        1             1         1                  1      

     Ainsi     p ET ( p OU q )    ,  p  ,   p OU ( p ET q ) sont équivalentes

 •  Soit la propriété:

      3x + 1 > 0  ET  ( x - 5 ≤ 0   OU   x + 3 > 0 )       où x est dans IR 

       Traduire autrement la propriété .

     D'après ce que l'on a vu   cela équivaut à 

    (   3x + 1 > 0  ET  x - 5 ≤ 0  ) OU (   3x + 1 > 0  ET x + 3 > 0 )

  c-à-d 

   (  x > - 1 / 3   ET  x > 5 )  OU ( x > - 1/ 3   ET x > - 3 )

c-à-d 

        x > 5  OU  x > - 1 / 3

c-à-d   

                   x > - 1 / 3

      Donner l'ensemble solution.

        Ainsi      SIR = ] - 1 / 3  + ∞ [ 


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