INFO EX 6 FEUILLE 1 FONCTION Exp TS Déc 2012

                 INFO    EX 6   FEUILLE 1  FONCTION Exp        TS Décembre 2012

          EXERCICE 6         

               Le plan est muni d'un repère orthonormal.

                 Soit la fonction:

                      b14.png

                 Soit ( C ) sa courbe représentative.

               1. Donner son intervalle de définition.

               2. Donner sa limite aux extrémités de son intervalle de définition.

               3.Trouver un réel a tel que :

                                  b15.png

                     La courbe de f admet-elle une asymptote en - ∞?

              4.  La courbe de f admet-elle une asymptote en + ∞?

              AIDE:    • Pour la limite de f en + ∞ on pourra  factoriser  ex  

                               et simplifier.

                             • Dire que la droite D: y = ax + b est une asymptote à

                              la courbe ( C ) de f en +  ∞ ( respectivement en -  ∞ )

                              équivaut à : 

                                      b22.png 

                             respectivement 

                                  b21.png       

                            • Pour déterminer, en  + ∞, une asymptote oblique D : y = a x + b

                              éventuelle  on pourra aussi bien rechercher trois réels a , b , c

                              tels que pour tout réel x on ait :

                                 b18.png                        

------------------------------------------------------------------------------------

               Réponse:

               1. Recherche du domaine de définition.

                   Comme  1 + ex  ≠  0 pour tout x dans IR 

                  f est définie dans IR.

                   Conclusion:   Df  = IR

              2.  Donnons les limites en +∞    et en - ∞  .

                         On a :

                      c28.png

                      pour tout x dans IR.

                    En effet:

                           c30.png

                  • En +∞         

                                  On a :

                              c31.png

                              Conclusion :    lim f =  + ∞ 

                                                         x  →  + ∞ 

                 • En - ∞  

                               On a :

                               c32.png                            

                         Conclusion :    lim f =  - ∞ 

                                                         x  →  - ∞ 

                  3 . Recherche d'un réel a.

                      • En fait on a déjà ici  mis en évidence a = 1

                         Soit x dans IR*.

                              c37.png

                            Or 

                         c33.png

                   On a :

                                 c38.png                               

                    IMais :

                         c35.png

                             Donc:

                                lim ( f(x ) -  1  x ) =  2

                                x  →  - ∞                               

                        c-à-d  

                                     lim ( f( x ) -  x - 2 )  = 0

                                       x  →  - ∞

                         c-à-d

                                 lim ( f( x ) - ( x + 2 ) ) = 0

                                   x  →  - ∞

                          Conclusion : OUI.

                               La droite  Δ: y = x + 2  est une asymptote oblique en - ∞ 

                                à la courbe de la fonction f.

                   4. Regardons en + ∞  si la courbe de f admet une asymptote.

                           Soit x dans IR.

                          On a :

                            c36.png

                             Sachant que     lim  ex   = + ∞

                                                           x  → + ∞

                            Ainsi :

                                lim ( f( x )  - ( x + 1 ) ) = 0

                                 x  →  + ∞

                          Conclusion :  OUI. La courbe de f admet en  + ∞

                           la droite  D: y = x + 1 comme asymptote oblique.

-----------------------------------------------------------------------------------------------