INFO NUMERATION TRAVAUX BTS1

                                                 INFO CHANGEMENT DE SYSTEME DE NUMERATION            BTS1     SEPT 2011                

                                          Conversion hexadécimal-binaire

 

             TRAVAIL 1.

                Soit l’entier naturel   n =  01001101 écrit dans le système binaire.

                 Convertir n en hexadécimal. 

Binaire

0100

1101

Décimal

4

13

Hexadécimal

4

D

              On commencera depuis la droite de l'écriture donnée de n  en regroupant les bits

                ( c-à-d  les 0 et 1) par 4 en ajoutant si nécessaire des 0 à gauche

                 pour avoir des groupes de 4 bits.

                   n =  01001101

                Puis à l’aide du tableau ci-dessus juxtaposer la traduction de chaque

                groupe de 4 bits en hexadécimal.

 --------------------------------------------------------------------------------------------------------

      Réponse:      On remplace  1101

                              par : D

                              On remplace  0100

                              par : 4

               Conclusion :        n = 4D          dans le système hexadécimal.

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      TRAVAIL 2      ( Aspect réciproque )

                  Soit l’entier naturel  n = D4  

                 écrit dans le système hexadécimal.

                 Par lecture du tableau précédent écrire n dans le système binaire.

 --------------------------------------------------------------------------------------------------------

      Réponse:

               D  est remplacé par :   1101

              4 est remplacé par  0100

               Donc    n = 11010100

            Ce que l'on écrit    :

          Conclusion:    n = 11010100

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       Conversion hexadécimal-décimal 

             TRAVAIL 3.

         Soit l’entier n = A1C4 

         écrit dans le système hexadécimal.

         Ecrire n dans le système décimal.

Décimal

0

1

2

3

4

5

6

7

Binaire avec 4 bits

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

hexadécimal

0

1

2

3

4

5

6

7

 

Décimal

8

9

10

11

12

13

14

15

Binaire avec 4 bits

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

hexadécimal

8

9

A

B

C

D

E

F

 

 

 

    On écrira n comme polynôme de puissances de 16 en remplaçant les lettres

     par leur traduction en système décimal.      

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       Réponse:

           Si l'on ne veut pas passer par le système binaire on écrit.  

                       n =  A1C4 

            c-à-d

                       n =  A x 163  + 1 x  162  + C x 16  + 4 x 160  

             c-à-d 

                       n = 10 x 163  + 1 x  162  + 12 x 16  + 4 

            c-à-d

          Conclusion :          n = 41412      dans le système décimal

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            TRAVAIL 4.

                          Soit l’entier naturel n = 2002   écrit dans le système décimal.

                          Donner l’écriture de n dans le système hexadécimal.

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      Réponse:

                   1.  On peut passer par l'intermédiaire du système binaire.

                     2002 est compris entre  210 = 1024  et 211   = 2048. 

                    2002 -  210   = 978

                     978   est compris entre   29 =   512  et     210 =  1024

                    978 -  29  = 466

                     466   est compris entre   28 =   256    et     29 =  512

                     466   -   2= 210                   

                   210 est compris entre  27 =   128     et    28 =   256    

                   210 -  27 = 82

                    82   est compris entre 26 =   64    et    27 =   128    

                    82  -  26 =    18

                     18 est compris entre  24 =  16  et    25 =   32   

                     18 - 24 = 2

                     Donc dans le système binaire

                     n = 1 x  210   + 1 x  2 +  1 x 2 + 1 x 2 + 1 x  2 + 0 x  2 + 1 x 2  +  0 x  2 + 0 x  2 +1 x  21 + 0 x 20

                    c-à-d    n = 11111010010    en base 2

                                n = 011111010010 

                     Mais   0010 = 2

                                1101 = D

                                 0111= 7

           Conclusion:       n = 7D2       dans le système hexadécimal

           2. On obtenir directement ce résultat.

                              n est compris entre  162 = 256  et 163 = 4096 

                         2002 -  7x162 =  210

                         210 est compris entre 16 et 162= 256

                        210 -  13 x 16 = 2

                        Donc   2002 =  7x162 + 13 x 161 + 2 x 160

                         c-à-d     2002 =   7x162 + D x 161 + 2 x 160

             Conclusion :  n = 7D2    dans le système hexadécimal

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    TRAVAIL 5.

                          Compléter le tableau :           

 

Base 2

Base 10

Base 16

1001010110 en binaire

 1001010110

 598

 256

2002 en système décimal

 11111010010

 2002

 7D2

A1C4 en hexadécimal

 1010000111000100

 41412

 A1C4

211 en système décimal

 11010011

 211

 D3

         •   On a    (  211 ) 10= 13 x 161 + 3      Donc   (  211 ) 10= 13 x 161 + 3 x160

           c-à-d       (  211 ) 10= D x 161 + 3 x160

           D'où          (  211 ) 10= ( D3 )16

           Comme  (  3 )16   = 1x 21 + 1 x 20       on a    (  3 )16   = ( 0011 )2

           D'autre part   D = 13 = 1x 23 + 1 x 22 + 1 x  20      Donc D = ( 1101 )2

           Ainsi     ( D 3 )16  = ( 11010011  )2

                                ---------------------------

   TRAVAIL 6

            Soit l'entier n = 186 dans le système décimal

           Ecrire n dans le système binaire.

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    Réponse:

                  On divise 186 par 2 puis tous les quotients par 2 en s'arrêtant au premier quotient nul.

                  186 = 93 x 2 + 0

                   93 =  46   x 2 + 1

                   46 =  23  x 2+ 0

                    23 = 11  x 2  + 1

                     11 =  5 x 2 +1

                      5 =  2 x 2 + 1

                      2 = 1 x 2 + 0

                       1 = 0 x 2 + 1            Le quotient est nul pour la première fois. On s'arrête.

            On écrit de gauche à droite tous les restes en remontant.

             Conclusion:   n = 10111010   dans le système binaire

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     Question:  Comment obtenir à la calculatrice le reste  d'une division par 2?

                         Comment obtenir à la calculatrice le quotient d'une division par 2.

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      Réponse:          

                     Soit n un entier naturel.

                       Il existe des entiers q et r tels que  

                       n = 2 q + r    avec  0 ≤  r < 2    

                      q est le quotient et r est le reste.

                       q  = int( n / 2 )

                       r  =  n - int( n / 2 ) x 2

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        PROGRAMME AVEC ALGOBOX

        donnant le reste et le quotient de la division par 2.

      VARIABLES

     a EST_DU_TYPE NOMBRE

     r EST_DU_TYPE NOMBRE

     q EST_DU_TYPE NOMBRE

 

       DEBUT_ALGORITHME

    LIRE a

    r PREND_LA_VALEUR a-2*floor(a/2)                                                               ( floor remplace int  )

   q PREND_LA_VALEUR floor(a/2)

   AFFICHER "r = "

   AFFICHER r

   AFFICHER " q = "

   AFFICHER q

    FIN_ALGORITHME

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  Par exemple:  pour a = 187

    le programme donne:  

          ***Algorithme lancé***

              r = 1 q = 93

          ***Algorithme terminé***