RESUME 3 COMPORTEMENT ASYMPTO.

                        RESUME  3    COMPORTEMENT ASYMPTOTE               1S   mars 2010

    5.     ASYMPTOTE  VERTICALE.   

                Soit  a  réel.               

                Soit  f  une fonction définie dans un intervalle dont une extrémité est a .

                Soit  ( C ) la courbe de f  dans  un repère orthonormé.

  •  Si   lim f( x ) = ± ∞    

            x → a  

     alors   la droite verticale D: x = a  est une asymptote verticale à ( C )

 •  Si   lim f( x ) = ± ∞   

                x → a +  

      alors   la droite verticale D: x = a  est une asymptote verticale à droite à ( C ).

•  Si   lim f( x ) = ± ∞    

           x → a -  

    alors   la droite verticale D: x = a  est une asymptote verticale à gauche à ( C ).

      6.  ASYMPTOTE  OBLIQUE .

              Soit f  une fonction définie sur un intervalle dont une extrémité  est  + ∞.

                   ( respectivement - ∞  . )

             Soit ( C )  la courbe de f.

            Soit  la droit D : y = a x  + b.

                 Alors:

    lim (  f ( x ) - ( a x + b )  ) = 0   ssi   D est une asymptote oblique à ( C ) en   + ∞  .

    x →  + ∞ 

                  Respectivement :     

  lim (  f ( x ) - ( a x + b )  ) = 0   ssi  D est une asymptote oblique à ( C ) en   - ∞  .

    x →  - ∞ 

        7.    EXEMPLE.  

                 Soit la fonction  f : x  →   2 x + 1 + 1 / x   définie dans IR*.

                 Soit D ; y = 2 x + 1

                Montrer que D est une asymptote à la courbe ( C ) de  f  en  + ∞ .

          Réponse: ----------------------

          •   + ∞   est bien une extrémité de l'intervalle ] 0 , + ∞   [ de définition.

               On peut faire la recherche.

          •   Soit x > 0.

              On a :   f( x ) =   2 x + 1 + 1 / x  

              Donc :     f( x ) - (   2 x + 1  ) =  1 / x  

                  Or     lim 1 / x = 0

                           x→ + ∞  

            D'où  

                    lim (  f( x ) - (   2 x + 1  )   ) = 0

                     x→ + ∞ 

                                            

                  Conclusion : D est une asymptote à la courbe ( C ) de  f  en  + ∞ . 

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