INFO PROBLEMES DENOMBR. BTS

  PROBLEMES  DE  DENOMBREMENTS          BTS        NOV. 08

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 Problème.1        Dans le jeu du loto sportif, le parieur doit remplir une grille où il indique

                         les résultats qu'il prévoit pour les treize matchs futurs de football. 

                         Pour chacun des treize matchs, trois réponses sont possibles:

              L'équipe 1 est annoncée comme gagnante ( réponse "1" ), le résultat prévu est

              un match nul ( réponse " N" ) , l'équipe 2 est annoncée comme gagnante ( réponse " 2" ).

              Ces trois réponses recouvrent toutes les éventualités et, à l'issue du match, une et une

              seule se trouvera réalisée.

              Voici un extrait de grille:

                    Equipe 1                        Equipe 2

               1    NANTES                       MARSEILLE                 1   N   2

               2   STRASBOURG               AUXERRE                    1   N    2

                - -   -    -    -   -   -    -   -   -   -   -  -   -  -  - - - -   -   -     -

             13   BORDEAUX                    METZ                           1   N   2

                   La règle du jeu est la suivante : Sur chacune des  treize lignes, le parieur

                   coche une et une seule des trois cases  1    N     2  correspondant au résultat prévu.

                 C'est ce que l'on appelle remplir la grille.

                  1. Combien de façon différentes peut-on remplir la grille?

                  2. Dénombrer les grilles pour lesquelles , à l'issue des matchs:

                     a. Toute les réponses sont exactes.

                     b. Toutes les réponses sont fausses.

                     c.Les trois premières réponses sont fausses , et les dix autres étant exactes.

                     d. Trois réponses et trois seulement sont fausses.

                   3. Pour gagner au loto sportif , il faut avoir au moins dix réponses exactes.

                          Quel est le nombre de grilles gagnantes?


  REP.        1.  Recherche du nombres de façons différentes de remplir une grille .

                     Schéma:                          I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I  

                     Pour chacun des treize matchs  il y a trois façon de répondre.

                    Ainsi:

                   D'après le principe multiplicatif il y a 313   façons différentes de remplir une grille. 

                   Conclusion:   Il y a donc 1 594 323  façons différentes de remplir les grilles .

                   2.a.  Il n'y a qu'une seule grille où toute les réponses sont exactes.

                          En effet: 

                          Pour chacun des treize matchs  il n'y a qu'une seule façon de

                          répondre exactement .    

                        Cela correspond au schéma suivant:  I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I  

                          Cela fait   113  = 1   possibilité.

                          b. Il y a  8192   grilles différentes avec toutes les réponses fausses.

                             En effet :  

                             Pour chacun des treize matchs  il n'y a deux façons de

                            répondre faussement .  

                            De la même façon:

                            Cela correspond au schéma:   I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 

                          Il y a d'après le principe multiplicatif  213   possibilités.

                       Conclusion:  Il y a  8192   grilles différentes avec toutes les réponses fausses

                         c. Donnons le nombre de grilles diférentes avec les trois premières

                             réponses fausses.

                         Schéma:         Cela correspond à :  I 2 I 2 I 2 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 

                                       Il y a d'après le principe multiplicatif  23 × 110   possibilités.

              Conclusion:  Il y a  8  grilles différentes où les trois premières réponse seulement sont fausses.  

             d. Dénombrons les grilles avec trois réponses fausses.

                    Il y a  C13 3   façons  de choisir 3 matchs, parmi 13 matchs, où les réponses seront fausses.

                   Chaque fois que les trois matchs, où les réponses sont fausses, sont connus il y a 8 grilles possibles.

                  Donc il y a  C13 3   × 8   grilles différentes où trois réponses sont fausses.

                Conclision: Il y a   2288    grilles différentes où trois réponses sont fausses.

              3. Donnons le nombres de grilles gagnantes.

                Au moins 10 réponses exactes peut être:

          10 réponses bonnes .( c-à-d   3 réponses fausses)  Soit     2288  grilles.

          11 réponses bonnes . ( c-à-d  2 réponses fausses)   Soit     C13 2   × 24  = 312   grilles .

          12 réponses bonnes.  ( c-à-d  1 réponse fausse  )   Soit    C13 1   × 25   =   26      grilles.

          13  réponses  bonnes .  Soit       1   grille.

             Au total cela fait : 1 + 26 + 312 +2 288 = 2627

                 Conclusion :   Il y a  2627 grilles gagnantes. 

            Problème .2 

                      On considère des grilles de mots croisés carrées et comportant 16 carreaux noirs ou blancs.

       
       
       
       

                      Dans ce qui suit , les grilles  considérées ne sont pas remplies par des mots.

                      On les distingue donc uniquement par le nombre et la position des carrés noirs.

                      Et la grille dont tous les carrés sont noirs est admise comme grille de mots croisés.         

           1. a. Calculer le nombre A de grilles de mots croisés comportant 5 carreaux noirs.

                b. Calculer le nombre B de grilles de mots croisés comportant 8 carreaux noirs.

                c. Soit C le nombre de grilles de mots croisés comportant 11 carreaux noirs.

                     Démontrer sans calcul que C = A.

             2. Soit T le nombre de grilles de mots croisés différentes . Démontrer que

                l'on a:   T = 2 16 .

             3. a. Soit X le nombre de grilles de mots croisées comportant au plus 7 carreaux noirs , 

                      Y   le nombre de grilles de mots croisées comportant au moins  9 carreaux noirs .

                      Démontrer que X = Y.

                  b. Déduire  X.                         

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 REP.        1.a        A = C16 5   = 4368             Il y en a autant que de parties de 5 carreaux

                                                                   dans un ensemble de 16 carreaux .

                   b         B =  C16   =12870             Il y en a autant que de parties de 8 carreaux

                                                                     dans un ensemble de 16 carreaux.

                 c.    C = A       Il y a autant de grilles de 11 carreaux  noires que de grilles de 5 carreaux blancs .

                                      ( On a des parties complémentaires. )

                                       Et il y a autant de grilles de 5 carreaux blancs que de grilles de 5 carreaux noirs.

                 2.   T = 216     En effet on peut imaginer un schéma de 16 cases où l'on met 2.

                                      Chacun des carreaux étant soit noir soit blanc.

                                    Il y adonc deux possibilité pour chacun des 16 carreaux.

                       Conclusion :      T = 65536

                     3 . a. X = Y    En effet :     " Avoir au plus 7 carreaux noirs "  revient à

                                                           " Avoir au moins 9 carreaux blancs". ( Parties complémentaires )

                                                           Mais il y a autant de possibilités de " Avoir au moins 9 carreaux blancs".

                                                          que de " Avoir au moins 9 carreaux noirs".

                          b.  On a :     T = X  +  C16 8    +  Y   = 2 X + 12870 

                                ( En faisant l'inventaire.  De  0 à  7  carreaux noirs  ;  8 carreaux noirs  ;

                                   de 9 à 16 carreaux noirs )

                            c-à-d           65536  = 2 X + 12870   

                            Donc    X = ( 65536 - 12870 ) / 2

                             Conclusion :    X =26333