INFO DS n° 4 TES 12/12/11

                          INFO      Devoir surveillé    TES  Spé maths        12 décembre 2011

    EXERCICE 1

             Dans l’espace muni d’un repère orthonormal    

              .

             On considère les points :     A ( 2 ; 0 ; 1 )  , B( 0 ; 4 ; 3 ) , C( 1 ; 2 ; 2 ) ,

            D( 1 ; 1 ; 0 ) et I( 0 ; 1 ; 2 ).

        1.      Les points ABC déterminent-ils un plan de l’espace ?

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       Réponse :

           Il suffit de regarder si les vecteurs et sont               

          colinéaires ou non.

          On a : 

                (  - 2 ; 4 ; 2 )    et    ( - 1 ; 2 ; 1 )

 Les coordonnées du vecteur sont le double de celles du vecteur _.

               Donc:             = 2    

               Les deux vecteurs sont colinéaires.

          Conclusion :   NON ,  les points ABC sont alignés donc ne

                                     déterminent pas un plan de l'espace.

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        2.       Trouver un vecteur non nul   orthogonal aux vecteurs et

                  .

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    Réponse:

               Soit ( a , b ,c ) les coordonnées de  .

               Imposons les conditions:

                   0 =     • 

                   0 =     • 

                 ( a , b ,c )  ≠   ( 0 , 0 , 0 )

        Il n'y a pas unicité de a , b , c .

              On a:   ( - 1 ; 1 ; -1 )   et    (  - 2 ; 4 ; 2 )   .

          Les trois conditions sont donc:

             - 2 a + 4 b + 2c = 0                       L₁

              - a + b - c = 0                               L₂

             ( a , b ,c )  ≠   ( 0 , 0 , 0 )

     c-à-d        en considérant     L₁ ← ( 1/ 2 ) × L₁         

               -  a + 2 b + c = 0                     L₁

                 - a + b - c = 0                         L₂

             ( a , b ,c )  ≠   ( 0 , 0 , 0 )

           Il n'y a que deux équations pour trois inconues.

           Prenons c comme paramètre et exprimons a et b en fonction de c.

           On obtient :

                   a -  2 b =  c                      L₁

                 - a + b =  c                          L₂

             ( a , b ,c )  ≠   ( 0 , 0 , 0 )

  c-à-d               en considérant     L₁ ←     L₁ + L₂   

                    - b = 2 c                L₁

                     a = b - c               L₂

                     ( a , b ,c )  ≠   ( 0 , 0 , 0 )

         Décidons de choisir une valeur de c qui convient

          aux trois conditions.

           Prenons:  c = - 1

             Alors   L₁   entraîne  b = 2

             Puis  L₂   entraîne   a = 2 - ( - 1 ) = 3

            Considérons   le vecteur   ( 3 , 2 ; - 1 )

           Conclusion :  Le vecteur   ( 3 ; 2 ; - 1 ) .

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           3.      Trouver une équation cartésienne du plan P passant par le point A

                et de vecteur normal .

                 Le point C est-il dans le plan P ?

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   Réponse:

               •   Une équation du plan P

                  est de la forme    3 x + 2 y - z + d = 0

                  car le vecteur   ( 3 , 2 ; - 1 ) en est un vecteur normal.

                Comme P passe par le point A( 2 ; 0 ; 1 ) on a :

                  3 × 2 + 2 × 0  - 1 + d = 0

                c-à-d     5 + d = 0

               c-à-d    d = - 5

             Conclusion:  une équation de P est :     3 x + 2 y - z - 5 = 0

               •  OUI  le point C( 1 ; 2 ; 2 ) est dans le plan P.

                 En effet : 

                   Les coordonnées de C vérifient l'équation de P car

                                       3 × 1 + 2× 2 - 2 - 5 = 0

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       4.      Soit la droite Δ  de vecteur directeur et passant par le point I.

                 a.       Donner une représentation paramétrique de la droite Δ .

                 b.       Trouver les cordonnées du point d’intersection de la droite Δ  avec le

                            plan P.

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       Réponse :

               a. La droite  Δ passant par le point I ( 0 ; 1 ; 2 ) et de vecteur  directeur 

                 ( 3 ; 2 ; - 1 ) admet comme équations paramétrique :

                     x = 0 + 3 t

                     y = 1 + 2 t           avec t dans IR

                     z =  2 - 1  t

             Conclusion :       x = 3 t  

                                         y = 1 + 2 t     avec t dans IR   

                                          z  = 2 - t 

            b.  Soit E ( 0 + 3 t ; 1 + 2 t  ; 2 - t ) le point de Δ appartenant au plan P.

                    Les coordonnées de E vérifie l'équation de P.

                   Ce qui va fixer la valeur de t.

                     Ainsi :    3( 0 + 3 t ) + 2 ( 1 + 2 t ) - (  2 - t ) -  5 = 0

                   c-à-d      9 t + 4 t + t  + 2 - 2 - 5 = 0  

                   c-à-d     14 t  = 5

                   c-à-d    t = 5 / 14

                   En reportant dans les coordonnées de E on obtient :

                           x_E = 3(  5 / 14 ) = 15 / 14

                           y_E    = 1  + 2 ( 5 / 14 ) = (14 + 10 ) / 14 = 24 / 14 

                          z = 2  - 5 / 14 = ( 28 - 5 ) / 14 = 23 / 14

               Conclusion :   On a : E( 15 / 14  ; 24 / 14  ; 23 / 14 )

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       EXERCICE 2

                   Soit la suite ( u ) définie dans IN par :

                                                      u₀ = 1   et    u_n+1 = ( n + 1 ) u_n

                   1.      Montrer , par récurrence su IN , que

                                 u_n > 0 pour tout n dans IN.

                  2.      Calculer  le quotient  u_n+1 / u_n .

                           En déduire le sens de variation de la suite ( u ) .

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  Réponse:

              1. Récurrence sur IN.

                   • Soit  n = 0.

                     On a :    u₀ = 1 et   1 > 0

                     Donc   u₀ > 0

                      L'inégalité est vraie pour n = 0

                   • Soit n dans IN quelconque.

                     Montrons que u_n > 0  implique   u_{n + 1} > 0.

                     On considère     u_n > 0

                      Mais  n + 1 > 0

                      Donc     (  n + 1 ) u_n > 0

                      Or   u_{n + 1}  = (  n + 1 ) u_n

                      Ainsi    u_{n + 1}  > 0

                       Conclusion:   Le résultat est avéré sur IN.

             2. Calcul de   u_n+1 / u_n .

                   On a :      u_n+1 / u_n  =   (  n + 1 ) u_n  /  u_n  = n + 1

                  Conclusion:         u_n+1 / u_n  = n + 1      pour tout n dans IN .           

                  Donnons le sens de variation de la suite ( u ).

                 On a :  u_n+1 / u_n  = n + 1  pour tout n dans IR

                   Donc    u_n+1 / u_n  ≥  1  pour tout n dans IN .

                  Or la suite ( u ) est stictement positive sur IN

                   Donc     u_n+1  ≥   u_n    pour tout n dans IN.

               Conclusion:   La suite ( u ) est croissante dans IN.