EXERCICE : Suite récurrente TS SEPT 2012

                        EXERCICE SUR LES SUITES RECURENTES   TS    SEPT 2012

              EXERCICE 

              Soit a un nombre réel.

             On considère la suite récurrente ( un ) telle que :

                            u0 =  a

                            un + 1  =√(  un   + 2 )    pour tout n dans IN

                Pour a = 6 puis pour a = - 6 établir que la suite est minorée par - 2 sur IN et 

                donner son sens de variation.

                  ( On pourra utiliser le raisonnement par récurrence.)        

               Que remarquez vous?

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     Réponse :

       # cas a = 6  

          Faisons une récurrence sur IN pour établir que :

                           - 2 ≤ u n      pour tout n dans IN

            • n = 0 

               On a:        u n   = 6

                            Or    - 2 ≤ 6

          Donc        - 2 ≤ u n      pour n = 0

        • Soit n dans IN quelconque.

                        Montrons que si    - 2 ≤ u n    alors    - 2 ≤ u n + 1    

             Considérons: 

                       - 2 ≤ u n 

                       Alors     - 2 + 2  ≤ u n   + 2

                     c-à-d            0 ≤ u n   + 2

            Mais la fonction racine carrée est croissante sur les réels positifs ou nuls.

          Donc    √0  ≤ √ ( u n   + 2 )

           c-à-d           0 ≤ un + 1      

              Ainsi         - 2  ≤ un + 1  

          Conclusion : La suite est bien minorée par - 2 sur IN

               Conjecturons  son sens de variation.    

              Regardons le comportement de ses deux premiers termes pour 

              avoir une "tendance."

                      u0  = 6

                      u1  = √( 6 + 2 ) = √ 8 = 2 √2       

                       2 √2   ≈ 2,83

                      2,83 ≤ 6

                     On peut conjecturer que la suite est décroissante.  

       Montrons par récurrence sur IN que un + 1 ≤  un     pour tout n dans IN.

       • n = 0 

          On vient de voir que u 1 ≤  u0   

          Donc    un + 1 ≤  un     est vrai pour n = 0

         •  Soit n dans IN quelconque.

            Montrons que si    un + 1 ≤  un    alors un + 1 ≤  un+ 2    

             Considérons :

               extrait-1.jpg

     Conclusion:  Le résultat est prouvé

     # a = - 2

               . Même genre d'argumentation

        Faisons une récurrence sur IN pour établir que :

                           - 2 ≤ u n      pour tout n dans IN

            • n = 0 

               On a:        u n   = - 2

                         Or    - 2 ≤ - 2

          Donc        - 2 ≤ u n      pour n = 0

        • Soit n dans IN quelconque. 

                        Montrons que si    - 2 ≤ u n    alors    - 2 ≤ u n + 1   

                  Considérons: 

                       - 2 ≤ u n 

                       Alors     - 2 + 2  ≤ u n   + 2

                     c-à-d            0 ≤ u n   + 2 

            Mais la fonction racine carrée est croissante sur les réels positifs ou nuls.

           Donc          √0  ≤ √ ( u n   + 2 )

           c-à-d           0 ≤ un + 1      

              Ainsi         - 2  ≤ un + 1  

          Conclusion : La suite est bien minorée par - 2 sur IN

          Conjecturons  son sens de variation.    

              Regardons le comportement de ses deux premiers termes pour  

              avoir une "tendance." 

                      u0  = - 2

                      u1  = √( - 2+ 2 ) = √0

                   Donc   u0   ≤ u1  

                     On peut conjecturer que la suite est croissante.  

       Montrons par récurrence sur IN que un  ≤  un + 1     pour tout n dans IN.

           • n = 0 

                             On vient de voir que u0 ≤  u1  

          Donc              un  ≤  un + 1    est vrai pour n = 0

      dem2.jpg

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