INFO TEST 18/12/13

                                       INFO TEST                  BTS1A    18/12/13

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                Exmat 1

                REPONSE: 

   /  2  1  \
A2= | 0  1  0   |
   \ 1  3  2   /

 

   /  4   2  \
A= | 0  1   0   |
   \ 2  6   3   /

    2. On vérifie directement  à la calculatrice que  A3 =    2A2 - I   .

                c-à-d     I  = 2A2 -   A3   

                   c-à-d     I = A ( 2 A - A2  )

        Conclusion : On a bien A ( 2 A - A2  )  =  I

    3.    Calcul de A-1  à la calculatrice :

            Comme  det( A ) ≠ 0   on peut inverser A.

   / -1     0   1  \
A- 1  = |  0    1   0   |
   \  1  -1   0   /

      On vérifie à la calculatrice que   2 A - A2   = A- 1   

         Ainsi  :  

         Conclusion :   A ' = A- 1 

    4. Résolution du système:

              det( A ) ≠ 0

          On directement :  X = A- 1 Y

             A la calculatrice on obtient la matrice colonne X.

               D'où :

          Conclusion :   SIR3  = { ( - 3 , 3 , 2 ) }    

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   EXERCICE 2

       1.Résoudre dans IR  le système linéaire suivant d'inconnues x , y , z .

                     x   +  y    + z   = 6           

                     2 x -  y + 2 z  = 9                             

                    2x +  3 y - z   =   7     

         REPONSE:

              Son écriture matricielle est :  

       / 1   1  1 \   /  x\        /  6  \         
      |  2 - 1  2  | |   y  |=   |   9   |       
       \ 2   3 -1 /  \  z  /       \  7  /        

      

   /  1  1 \
M= | 2 -1  2  |
   \ 2  3 -1 / 

 

   / x \
X= | y  |
   \ z /

 

   /   6  \
Y= |  9   |
   \  7  /

                      Le système s'écrit:  M X = Y

  c-à-d        comme det( M ) ≠ 0

                     X = M -1  Y

               A la calculatrice on obtient  X.

              Conclusion:      SIR3  = { ( 3 ; 1 ; 2 ) }

 

    2. On considère les matrices  M ,  X  et  Y suivantes:

                      

       Résoudre alors dans IR3  le système linéaire M X = Y.

    REPONSE:

                 M X = Y 

                c-à-d   det( M ) ≠ 0

                     X = M - 1  Y

               A la calculatrice on obtient  X.

            Conclusion:  SIR3  = { ( 1 , - 1 , 3 ) } 

     3.   Résoudre dans IR3  le système linéaire suivant:          

                       

               REPONSE:       

              De la mêmme façon il s'écrit sous la forme  M X = Y    

   /   1  -2 \
M= | 2   2  -1  |
   \ 3  -1   1 / 

 

   / x \
X= | y  |
   \ z /

 

   /   1  \
Y= |  8   |
   \  5  /

               comme   det( M ) ≠ 0   il devient:

                   X = M - 1  Y

                  A la calculatrice  on obtient X:       

              Conclusion: SIR3  = { ( 2 , 3 , 2 ) }  

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            EXERCICE 3 

 Une usine fabrique trois sortes d'articles : a1  , a , a3  , à partir de trois modules : m, m, m3  .

         On donne :        

a1  2 a  
3 9 5 m1
9 0 9 m2
4 8 6 m3 

  

m1 m2 m3   
5 6 3  Poids unitaires ( Kg )
180 250 150 Coûts unitaires ( en euros )

                  On lit par exemple :

                          Pour fabriquer un article a 2  , il faut 9 modules m1  et 8 modules m3  .

                          Un module m1  pèse 5 Kg et coûte 180 euros.

                  On note : 

A  est la matrice:                                                                

 /  3 5   \
|   9 0 9    |
 \  4 8 6  /

 M  est la matrice:

/   5 6 3         \
\  180 250 150     /

                 1. a. Calculer le produit matriciel M × A.

 

                    REPONSE

       /  3 9 5  \
      |   9 0 9   |
       \  4 8 6   /
/    5 6   3    \  /    5×3+6×9+3×4 5×9+6×0+3×8   5×5+6×9+3×6                    \
\  180 250 150  /  \    180×3+250×9+150×4  180×9+250×0+150×8   180×5+250×9+150×6      /

 

       /  3 9 5  \
      |    9 0 9   |
       \  4 8 6   /
/    5 6   3    \  /    81 69   97          \
\  180 250 150  /  \   3390 2820   4050     /

 Conclusion:

    Ainsi  M ×A  st la matrice: 

/   81 69 97      \
\   3390 2820 4050  /

                      b. Interpréter les lignes de ce produit.

 

                    REPONSE:

                      Première ligne:   On a le  poids nécessaire par article   a1  , par article   a2   ,par article  a3  .

                      Seconde  ligne:   On a le coût nécessaire  par article   a1  , par article   a2   ,par article  a3  .

                 2. Une semaine donnée , l'usine doit fournir 8 articles a1   , 12 articles a 2  , 13 articles a3 .

                     Elle dispose en début de semaine d'un stock de 200 modules de chaque sorte.

                     On note  F la matrice :               

 /    8   \
|    12    |
 \   13  /

                      a . Calculer le produit matriciel A × F . Que représente-t-il ?

                             REPONSE:

                              On a :       A × F qui est la matrice:

       / 8   \
      |  12    |
       \ 13  /
 /  3 9   5   \  /  3 × 8  +  × 12  5× 13       \
|   9 0 9   | |      9 × 8  +  × 12  9× 13      |
 \  4 8 6  /  \     4 × 8  +  × 12  6× 13    /

  c-à-d

       / 8   \
      |  12    |
       \ 13  /
 /  3 9   5   \  /  197     \
|   9 0 9   | |    189      |
 \  4 8 6  /  \  206      /

  c-à-d   A × F est

 /    197      \
|      189       |
 \     206     /

     Interprétons :  La première ligne est  le nombre de modules   m pour la semaine pour produire

                            la demande  [ 8 articles a1   , 12 articles  a2  ,13  articles a.]      

                            La seconde ligne est  le nombre de modules   m pour la semaine pour produire

                             la demande  [ 8 articles a1   , 12 articles a 2  , 13  articles a.]    

                            La troisième  ligne est  le nombre de modules   m pour la semaine pour produire

                             la demande   [ 8 articles a1   , 12 articles a 2  , 13  articles a.]    

                     b. La demande  [ 8 articles a1   , 12 articles a 2  , 13 articles a.] peut-elle être satisfaite? 

                    REPONSE:

                              Une semaine donnée:               

                            Elle dispose de 200  modules  m1 . Il lui en faut  197.  Pas de problème.

                            Elle dispose de 200  modules  m2 . Il lui en faut  189.  Pas de problème.

                           MAIS  elle dispose de 200  modules  m3 . Il lui en faut  206. ELLE ne peut donc pas

                           satisfaire la demande c-à-d   produire:    8 articles a1   , 12 articles a 2  , 13  articles a.   

       Conclusion:            LA REPONSE  EST  NON.

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   EXERCICE 4:

                        On considère les matrices :

                             Mtenon

             1.  Démontrer que  A2 - 3 A + 2 I = 0  

                      ( O étant la matrice nulle )

              2. En remarquant que  A = A × I   vérifier que l'égalité de la question 1

                                 peut s'écrire :   

                                    Formar

            3. En déduire l'existence d'une matrice A ' telle que :

                               A ×  A' = I

           ( On donnera d'abord l'expression de A ' en fonction de A et I  puis sous forme

            d'un tableau de nombres)

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              REPONSE:

    1. Avec la calculatrice directement on vérifie que  A2 - 3 A + 2 I =0  .

     2.  On considère :     A2 - 3 A× I + 2 I = 0  

                   c-à-d             2 I = 3 A× I  -  A

                    c-à-d           en factorisant A 

                                         2 I = A (  3  I  -  A  )   

                     c-à-d    en multipliant par 1 / 2  chaque membre :

                           Formar

              3.  On peut considérer:

                                              Matgraprim

                        on a bien alors  A × A' = I

              4. Avec la calculatrice il vient :

                       Invmata

                    A ' est simplement la matrice  A - 1.

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              EXERCICE 5

               Soient les  matrices  suivantes:

                                  Trmt

            1. Déterminer les deux nombres réels a et b tels que :

                                 A = a I + b J

          2 .  Calculer  J2 .

          3. On suppose que A = 3 I + J .

           a. Montrer que    ( 3 I + J )2 = 10 I + 6 J       à partir de la seconde question

                et des propriétés usuelles des matrices.

               ( Dans cette question on n'utilisera pas les expressions des matrices

                 comme tableau  mais on raisonnera littéralement avec les lettres A, I, J.

             b. Vérifier à l'aide des expresions données pour les matrices au début de l'exercice 

                       que     A2 = 10 I + 6 J

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               REPONSE: 

             1 . L'égalité     A = a I + b J  

                se traduit par :

                      Aetb

      2. Avec la calculatrice :

                       Conclusion :

                                  Jcarre

     3. On sait que :  A = 3 I + J

           a .  Donc :     A2 = ( 3 I + J)2  = 9   I2  +  J2  + 6  I × J

                         ( égalité remarquable)

                           Mais   I2 = I  =  J2           I × J  = J  

                           D'où le résultat :      A2 = ( 3 I + J)2 = 10 I + 6 J

           b.  Avec la calculatrice  on obtient      A2 =  10 I + 6 J  directement.

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