EX BAC SUITE TS

           EXERCICE DE BAC SUR LES SUITES            Commencé le  Mercredi 16 mars 2011

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

             EXERCICE DE BAC

                        On considère la suite numérique u définie par

                        u0  = 1

                        u n + 1    =  ( 1 / 3 ) u n   + n  - 1           pour tout n dans IN

                         Soit la suite v définie pour tout entier naturel n par:

                                         vn   =  4 un  -   6 n + 15

                      1. Montrer que v est une suite géométrique.

                        2.  Calculer v0   puis calculer vn   en fonction de n.

                              En déduire que pour tout entier naturel n :

                                     un = ( 19 / 4 ) ( 1 / 3) + ( 6 n - 15 ) / 4

                        3. Montrer que la suite u peut s'écrire sous la forme u = t + w

                             où t est une suite géométrique et w  une suite arithmétique.

                       4.   Calculer Tn  =  t0   + ...... + tn

                                       et      Wn     =  w0   + ...... + wn

                             En déduire    un     =  u0   + ...... + wn

------------------------------------------------------------------------------------------------

       Réponse:

                 1. Nature de la suite v.

                   On a :                   vn + 1   =     4 un+ 1  -   6 ( n + 1 )+ 15

                   c-à-d                  vn + 1   =     4 un+ 1  -   6  n +  9

                   Or                         u n + 1    =  ( 1 / 3 ) u n   + n  - 1     

                    D'où en remplaçant

                                         vn + 1   =     4 (   ( 1 / 3 ) u n   + n  - 1    )  -   6 n  + 9

                 c-à-d

                             vn + 1   =    ( 4 / 3 ) u n   +  4 n  - 4    -   6 n + 9  

                 c-à-d

                              vn + 1   =    ( 4 / 3 ) u n   -  2 n   + 5  

                c-à-d     3   vn + 1   =  4 u n   -  6 n   + 15   =    vn

                Donc      3   vn + 1   =    vn

                  c-à-d          vn + 1   =   ( 1 / 3 )  v     pour tout n dans IN

                        Conclusion : La suite v est géométrique de raison  1 / 3  

           2. Calcul de  v .

                     On a :     v  =  4 u 0   -  6( 0 )   + 15    = 4 ( 1 ) + 15 = 19

                       Conclusion : v  = 19 

               Calcul de v en fonction de n

                 D'après le cours :

                     Conclusion:    vn    =  19  ( 1 / 3 )n     pour tout n dans IN     

               Déduisons u en fonction de n.

                La relation   4 u n   -  6 n   + 15   =    vn

                     s'écrit   4  u n   =   6 n - 15   +  vn

                    Donc    4  u n   =   6 n - 15   + 19 ( 1 / 3) n     pour tout n dans IN  

                   c-à-d       u n   =  (  6 n - 15 ) / 4  + (19 / 4 ) ( 1 / 3) n     pour tout n dans IN  

                 Conclusion:   u n   =  (19 / 4 ) ( 1 / 3) n    + (  6 n - 15 ) / 4         pour tout n dans IN      

              3. Ecriture de  u.

                    La suite t de terme général   tn  = (19 / 4 ) ( 1 / 3) n    est géométrique de raison  1 / 3

                  et de premier terme 19 / 4.

                 La suite w de terme général   wn  = ( 6 n - 15 ) / 4

                     c-à-d       wn  = (3 / 2)  n - 15 / 4     est arithmétique de raison 3 / 2 

                  et de premier terme - 15 / 4.

                        On a :              u n   =  tn       +     wn           pour tout n dans IN

                   Il apparaît que la suite u est la somme des suites t et w ci-dessus.

                      Conclusion:   u = t  + w  avec t suite géométrique et w suite arithmétique

               4 . Calcul de Tn   .

                     C'est la somme des n + 1 premiers termes de la suite géométrique t.

                       La raison 1 / 3 est différente de 1.

                     Son  premier terme est :

                           t 0 = 19 / 4

                    Ainsi:

                     t0   + ...... + tn    =  ( 19 / 4)  [ ( 1 - ( 1 / 3 )n + 1  ) / ( 1 - (  1 / 3 ) ) ]

                  c-à-d 

                                         Tn        =  ( 19 / 4)  [ ( 1 - ( 1 / 3 )n + 1  ) /( 2 / 3) ]

                   c-à-d    

                         Conclusion:   Tn        =  ( 57 / 8)   ( 1 - ( 1 / 3 )n + 1  )                

                 # Calcul de Wn .

                    C'est la somme des  n + 1 premiers termes de la suite w.

                  Comme la suite w est arithmétique  de raison (3 / 2 ) et de premier terme

                       w0    = - 15 / 4  on a :

                      Wn    = (   w0    +   wn   ) ( n + 1 )

                  Ainsi :          Wn    = (    ( - 15 / 4 ) + ( 3 / 2 ) n - ( 15 / 4 )   ) ( n + 1 )

                           Conclusion:   Wn    =   (    ( - 15 / 2 ) + ( 3 / 2 ) n    ) ( n + 1 )  

                    Par conséquent   Un est la somme des deux expressions:

     Conclusion :   Un=  ( 57 / 8) [ 1 - ( 1 / 3 )n + 1  ]  + (    ( - 15 / 2 ) + ( 3 / 2 ) n    ) ( n + 1 )