EXERCICE DE BAC SUR LES SUITES Commencé le Mercredi 16 mars 2011
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EXERCICE DE BAC
On considère la suite numérique u définie par
u0 = 1
u n + 1 = ( 1 / 3 ) u n + n - 1 pour tout n dans IN
Soit la suite v définie pour tout entier naturel n par:
vn = 4 un - 6 n + 15
1. Montrer que v est une suite géométrique.
2. Calculer v0 puis calculer vn en fonction de n.
En déduire que pour tout entier naturel n :
un = ( 19 / 4 ) ( 1 / 3n ) + ( 6 n - 15 ) / 4
3. Montrer que la suite u peut s'écrire sous la forme u = t + w
où t est une suite géométrique et w une suite arithmétique.
4. Calculer Tn = t0 + ...... + tn
et Wn = w0 + ...... + wn
En déduire un = u0 + ...... + wn
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Réponse:
1. Nature de la suite v.
On a : vn + 1 = 4 un+ 1 - 6 ( n + 1 )+ 15
c-à-d vn + 1 = 4 un+ 1 - 6 n + 9
Or u n + 1 = ( 1 / 3 ) u n + n - 1
D'où en remplaçant
vn + 1 = 4 ( ( 1 / 3 ) u n + n - 1 ) - 6 n + 9
c-à-d
vn + 1 = ( 4 / 3 ) u n + 4 n - 4 - 6 n + 9
c-à-d
vn + 1 = ( 4 / 3 ) u n - 2 n + 5
c-à-d 3 vn + 1 = 4 u n - 6 n + 15 = vn
Donc 3 vn + 1 = vn
c-à-d vn + 1 = ( 1 / 3 ) vn pour tout n dans IN
Conclusion : La suite v est géométrique de raison 1 / 3
2. Calcul de v0 .
On a : v0 = 4 u 0 - 6( 0 ) + 15 = 4 ( 1 ) + 15 = 19
Conclusion : v0 = 19
Calcul de vn en fonction de n
D'après le cours :
Conclusion: vn = 19 ( 1 / 3 )n pour tout n dans IN
Déduisons un en fonction de n.
La relation 4 u n - 6 n + 15 = vn
s'écrit 4 u n = 6 n - 15 + vn
Donc 4 u n = 6 n - 15 + 19 ( 1 / 3) n pour tout n dans IN
c-à-d u n = ( 6 n - 15 ) / 4 + (19 / 4 ) ( 1 / 3) n pour tout n dans IN
Conclusion: u n = (19 / 4 ) ( 1 / 3) n + ( 6 n - 15 ) / 4 pour tout n dans IN
3. Ecriture de u.
La suite t de terme général tn = (19 / 4 ) ( 1 / 3) n est géométrique de raison 1 / 3
et de premier terme 19 / 4.
La suite w de terme général wn = ( 6 n - 15 ) / 4
c-à-d wn = (3 / 2) n - 15 / 4 est arithmétique de raison 3 / 2
et de premier terme - 15 / 4.
On a : u n = tn + wn pour tout n dans IN
Il apparaît que la suite u est la somme des suites t et w ci-dessus.
Conclusion: u = t + w avec t suite géométrique et w suite arithmétique
4 . Calcul de Tn .
C'est la somme des n + 1 premiers termes de la suite géométrique t.
La raison 1 / 3 est différente de 1.
Son premier terme est :
t 0 = 19 / 4
Ainsi:
t0 + ...... + tn = ( 19 / 4) [ ( 1 - ( 1 / 3 )n + 1 ) / ( 1 - ( 1 / 3 ) ) ]
c-à-d
Tn = ( 19 / 4) [ ( 1 - ( 1 / 3 )n + 1 ) /( 2 / 3) ]
c-à-d
Conclusion: Tn = ( 57 / 8) ( 1 - ( 1 / 3 )n + 1 )
# Calcul de Wn .
C'est la somme des n + 1 premiers termes de la suite w.
Comme la suite w est arithmétique de raison (3 / 2 ) et de premier terme
w0 = - 15 / 4 on a :
Wn = ( w0 + wn ) ( n + 1 )
Ainsi : Wn = ( ( - 15 / 4 ) + ( 3 / 2 ) n - ( 15 / 4 ) ) ( n + 1 )
Conclusion: Wn = ( ( - 15 / 2 ) + ( 3 / 2 ) n ) ( n + 1 )
Par conséquent Un est la somme des deux expressions:
Conclusion : Un= ( 57 / 8) [ 1 - ( 1 / 3 )n + 1 ] + ( ( - 15 / 2 ) + ( 3 / 2 ) n ) ( n + 1 )