DS n°9 15mai 2007 TS1

                                      DS n° 9        15 mai 2007         Calcul intégral        

           EXERCICE  BAC

                       On considère la fonction f définie sur [ 0 , + ∞ [  par f( x ) = [ ln ( x + 3 ) ] / (x + 3 )   .

             1. Montrer que f est dérivable sur  [ 0 , + ∞ [ . Etudier le signe de sa fonction dérivée f ' , sa limite

                  éventuelle en +  ∞ , et dresser le tableau de ses variations.

             2. On définit la suite ( un )n≥0   par son terme général   un = ∫nn+1  f(x) dx

                   a. Justifier que , si n ≤ x ≤ n + 1 , alors  f( n + 1 )  f(x )  f( n )

                   b. Montrer , sans chercher à calculer  un  , que , pour tout entier naturel n,

                                                     f( n + 1 )  ≤    un    f(n )

                  c. En déduire que la suite (   un  ) est convergente et déterminer sa limite.

            3. Soit F la fonction définie sur  [ 0 , + ∞ [  par F( x ) =( ln( x + 3 ) )2   

                  a. Justifier la dérivabilité sur  [ 0 , + ∞ [  de la fonction F et déterminer , pour tout réel

                       positif x , le nombre F'( x ).

                  b. On pose, pour tout entier naturel n , I ∫0n  f(x) dx   .

                     Calculer  In   .

              4. On pose, pour tout entier naturel n non nul ,   Sn = u0 + u1 + ... + un-1   .

                    Calculer Sn   . La suite ( Sn ) est-elle convergente.

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                                        Courbe de f  sur l'intervalle ] - 3 , + ∞[  :  La courbe sur IR+   n'est pas demandée.

                                       courbe-ex-bac-integration.jpg