DV n° 7 TS spé 14/03/17

                      DV n° 7   TS  Spé. Math.       14 mars 2017  Arithmétique

     EXERCICE 

            Partie A.

          On rappelle ci-dessous le Théorème de BEZOUT et le Théorème de GAUSS.

         • Théorème de BEZOUT :

          Deux entiers relatifs sont premiers entre eux si et seulement si

           il existe un couple ( u , v ) d'entiers relatifs vérifiant :    

               a u + b v = 1

         •  Théorème de GAUSS:

           Soient a, b ,c des entiers relatifs.

           Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux ,

           alors a divise c.

         1. En utlisant le Théorème de BEZOUT , démontrer le Théorème de GAUSS.

         2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q soient premiers entre eux.

             Déduire du  Théorème de GAUSS que, si a est un entier relatif tel que

              a  0 [ p ] et  a   0 [ q ] ,  alors     a   0 [ pq ]

             Partie B.

                    On se propose de déterminer l'ensemble S des entiers relatifs n vérifiant le système:

                                    n ≡ 9  [ 17]

                                     n ≡ 3 [ 5]   

            1. Recherche d'un élément de S.

                    On désigne par ( u , v ) un couple d'entiers relatifs tels que 17 u + 5 v = 1 .

                 a. Justifier l'existence d'un tel couple ( u , v ).

                 b. On pose n0 = 3× 17 u + 9 × 5 v

                           Démontrer que n appartient à S.

                 c. Donner un exemple d'entier n appartenant à S

            2. Caractérisation des éléments de S.

                   a. Soit n un entier appartenant à S.

                       Démontrer que  n − n0  ≡ ​ 0 [ 85 ]

                   b. En déduire qu'un entier relatif n appartient à S si et 

                       seulement si n peut s'écrire sous la forme n = 43 + 85 k

                      où k est un entier relatif.

            3. Application.

                Zoé sait qu'elle a entre 300 et 400 jetons.

              • Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.

              • Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.   

                 Combien a-t-elle de jetons?

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