INFO EX 4 DS 1S1 04/04/09

 INFO DS du 4 avril 2009               1S1   SUJET COMMUN

        EXERCICE 4

          Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).

          Placer les points A( - 1 ; 0 ) et B( 4 ; 0 ).

         

          Choisir un point C non aligné avec A et B.

          M désigne un point quelconque du plan.

         On note H le point de la droite ( AB ) qui vérifie     vect(AH). vect(AB) = - 10  .

  1. a. Que vaut la distance AB?

                  On a  le vect(AB)  de cordonnées ( 5 ; 0 ).

                  Ainsi:   AB = √( 5² + 0² ) = 5

                 Conclusion : AB = 5

      Les vecteurs colinéaires vect( AH ) et vec( AB ) sont-ils de même sens ? de sens contraires?

       Comme le produit scalaire    vect(AH). vect(AB) < 0   les vecteurs colinéaires

       vect( AH ) et vec( AB) sont de sens contraires.  

       Conclusion:      vect( AH ) et vec( AB) sont colinéaires de sens contraires.  

      b. Que vaut la distance AH ? Faire une figure en plaçant le point H.

              Comme les vecteurs    vect( AH ) et  vec( AB )  sont colinéaires et de sens contraires

              vect(AH). vect(AB) = - AH ×AB    .

              Ainsi l'égalité      vect(AH). vect(AB) = - 10     s'écrit     - AH × AB  = - 10

              c-à-d       AH = 10 / AB 

              c-à-d      AH = 2          sachant AB = 5.

            Conclusion:   AH = 2

                       

     2. Quel est l'ensemble ( Γ )des points M du plan tels que  vect( HM) . vect(AB ) = 0 ?

        L'égalité vect( HM) . vect(AB ) = 0   traduit l'orthogonalité des vecteurs  vect (HM ) et vect( AB ).

          Conclusion:

         L'ensemble ( Γ )  n'est autre que la droite passant par le point H et orthogonale

         à la droite ( AB ).

                        

     3. Comparer les réels vect( AH ) . vect( AB) + vect( HM ) . vect ( AB)   = vect ( AM ) . vect( AB ) .

                  Ils sont égaux.

         En effet:  

         vect( AH ) . vect( AB) + vect( HM ) . vect ( AB) ) = (   vect( AH ) + vect( HM )  ) . vect( AB )

          c-à-d  vect( AH ) . vect( AB) + vect( HM ) . vect ( AB)   =  vect( AM ) . vect( AB )

          4. Etablir que vect( AM ) . vect( AB) = - 10 équivaut à vect( HM ) . vect( AB) = 0.

              On a :    vect( AH ) . vect( AB) + vect( HM ) . vect ( AB)   =  vect(AM ) . vect( AB ).

              or          vect( AH ) . vect ( AB) = - 10

              Donc      - 10   + vect( HM ) . vect ( AB)    =  vect(AM ) . vect( AB )

            Ainsi :                  vect( HM ) . vect( AB) =   0    s'écrit    vect( AM ) . vect( AB) = - 10

              Quel est l' ensemble des point M du plan tels que   vect( AM ) . vect( AB) = - 10  .

             C'est l'ensemble des points M du plan tels que vect( HM ) . vet( AB) = 0.

               Conclusion:  C'est  ( Γ ) .

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