INFO. EX 2 DS 3 1S 22 Nov

INFO          DS n° 3               1S                22 Nov. 08

    EX. 2          Soit la fonction k : x →  a x² + b x + c     où a , b , c   sont des réels avec a ≠ 0.

                      On dispose de la fonction dérivée ,  k ' : x →   2a x + b .

                  1a.  Traduisons k( 1 ) = 2 .

                         k(  1 ) = a 1² + b 1 + c = a + b + c   

                        Donc       k( 1 ) = 2  donne:

                         Conclusion        a + b + c = 2

                   b. Traduisons k( - 1 ) = 4.

                       k(  - 1 ) =  a ( - 1 )² + b ( - 1 ) + c = a - b +c     

                     Donc  k( - 1 ) = 4  donne

                       Conclusion            a - b + c = 4 .

                  c.   Traduisons  k ' ( 1 ) = 3.

                            k' (  1 ) = 2 ( 1 ) + b = 2 a + b             

                           Donc    k' (  1 ) = 3   donne

                            Conclusion                   2 a + b = 3.

                                        Le seul travail est de remplacer x par sa valeur.

                 2. Résolvons  le système d'inconnues a , b , c , obtenu  en groupant les trois égalités

                        de la question 1.

                      On a :      a + b + c = 2           L1     ligne 1

                                      a - b + c = 4            L2     ligne 2

                                      2 a + b = 3              L3     ligne 3

                         L'objectif est de trouver les valeurs de a , b , c.

                         On peut remplacer   L1   par la différence  L1  -  L2  .

                        Par différence , en effet, a et c disparaissent.

                         On obtient :

                                              2 b = 2 - 4               Nouvelle ligne  L1  

                                              a - b + c = 4            L2     ligne 2    maintenue

                                              2 a + b = 3              L3     ligne 3    maintenue

 

                  La nouvelle ligne  L1   donne;           b   = - 2 / 2 =  - 1      c-à-d     b = - 1

                  En reportant dans  L3     on obtient:

                                             2 a - 1 = 3

                         c-à-d             a = 4 / 2  = 2     c-à- d                a = 2

                   Enfin en reportant les valeurs de a et b , trouvées,  dans L2

                                             on obtient:      2 -  ( - 1 ) + c  = 4.

                                          c-à-d       c  = 4 - 3  =  1

                  Conclusion                a = 2           b = - 1              c = 1

                                               Donc       k( x ) = 2 x²  - x  +  1    pour  réel  x.