INFO DS n° 3 1S 22 Nov. 08
EX. 2 Soit la fonction k : x → a x² + b x + c où a , b , c sont des réels avec a ≠ 0.
On dispose de la fonction dérivée , k ' : x → 2a x + b .
1a. Traduisons k( 1 ) = 2 .
k( 1 ) = a 1² + b 1 + c = a + b + c
Donc k( 1 ) = 2 donne:
Conclusion a + b + c = 2
b. Traduisons k( - 1 ) = 4.
k( - 1 ) = a ( - 1 )² + b ( - 1 ) + c = a - b +c
Donc k( - 1 ) = 4 donne
Conclusion a - b + c = 4 .
c. Traduisons k ' ( 1 ) = 3.
k' ( 1 ) = 2 ( 1 ) + b = 2 a + b
Donc k' ( 1 ) = 3 donne
Conclusion 2 a + b = 3.
Le seul travail est de remplacer x par sa valeur.
2. Résolvons le système d'inconnues a , b , c , obtenu en groupant les trois égalités
de la question 1.
On a : a + b + c = 2 L1 ligne 1
a - b + c = 4 L2 ligne 2
2 a + b = 3 L3 ligne 3
L'objectif est de trouver les valeurs de a , b , c.
On peut remplacer L1 par la différence L1 - L2 .
Par différence , en effet, a et c disparaissent.
On obtient :
2 b = 2 - 4 Nouvelle ligne L1
a - b + c = 4 L2 ligne 2 maintenue
2 a + b = 3 L3 ligne 3 maintenue
La nouvelle ligne L1 donne; b = - 2 / 2 = - 1 c-à-d b = - 1
En reportant dans L3 on obtient:
2 a - 1 = 3
c-à-d a = 4 / 2 = 2 c-à- d a = 2
Enfin en reportant les valeurs de a et b , trouvées, dans L2
on obtient: 2 - ( - 1 ) + c = 4.
c-à-d c = 4 - 3 = 1
Conclusion a = 2 b = - 1 c = 1
Donc k( x ) = 2 x² - x + 1 pour réel x.