FEUILLES D'EXERCICES SUR LA FONCTION EXP TS
EXERCICE 1
Soit u une fonction définie et dérivable dans IR telle que :
u ' = u sur IR
u ( 0 ) = 1.
1. Quel élément de preuve de l'existence de u pouvez-vous proposer ?
REPONSE:
Avec la méthode d'Euler on peut avoir une ligne brisée qui approche sa courbe
( pour un pas petit ). On a donc une trace de son existence.
On peut donc admettre qu'une telle fonction existe.
2. Soit la fonction v : x → u ( x ) × u ( − x ) qui est définie et dérivable sur IR
comme produit et composée de fonctions définies et dérivables dans IR.
Montrer que v est constante sur IR.
REPONSE:
Soit x dans IR.
v' ( x ) = u ' ( x ) × u ( − x ) + u (x ) ( − u ' ( − x ) ) = 0
donc v ' = 0 sur IR
Conclusion : v est une fonction constante sur IR.
3. Quelle est la valeur de v sur IR?
REPONSE:
On a :
v( 0 ) = u ( 0 ) × u ( − 0 ) = u ( 0 ) × u ( 0 ) = 1 × 1 =1
Donc
Conclusion :
v = 1 sur IR
c-à-d
u ( x ) × u ( − x ) = 1 pour tout x dans IR
4. La fonction u peut- elle s'annuler dans IR ?
En déduire u( − x ) en fonction de u ( x ) pour tout nombre réel x.
REPONSE : ( Déjà fait dans un travail précédent )
• NON
En effet :
S'il existait un réel a au moins tel que u ( a ) = 0
en remplaçant x par a dans l'égalité précédente on aurait :
u ( a ) × u ( − a ) = 1 et u ( a ) = 0
Ainsi on aurait 0 = 1 . Impossible.
• On peut en déduire que u ( − x ) = 1 / u ( x ) pour tout nombre réel x.
5. La fonction u peut-elle prendre des valeurs de signes contraires ?
REPONSE:( Déjà fait dans un travail précédent )
NON
En effet:
Raisonnons par l'absurde.
Supposons qu'il existe au moins deux réels a et b tels que u ( a )× u( b ) ≤ 0.
Comme u est définie et continue( car dérivable ) sur IR donc entre a et b
d'après le Th des valeurs intermédiaires u devrait s'annuler entre a et b.
Ce qui est impossible d'après la question précédente.
6. Pourquoi u > 0 sur IR ?
REPONSE :
On vient de voit que u ne s'annulait par sur IR et gardait toujours le même signe.
Or u ( 0 ) = 1
Conclusion : u > 0 sur IR
7. Quel est le sens de variation de u ?
REPONSE:
Comme u ' = u et u > 0 sur IR
on a u ' > 0 sur IR.
Conclusion : u est strictement croissante sur IR.
8. Montrer qu'une telle fonction u est unique.
REPONSE:
Raisonnons par l'absurde.
Supposons qu'il existe deux fonctions u et w définie et dérivables dans IR telles que
u = u ' sur IR et u( 0 ) = 1
w = w ' sur IR et w( 0 ) = 1 avec u ≠ w
La fonction u / w est définie et dérivable sur IR car u et w le sont
et w ne s'annule pas dans IR.
On a : ( u / w ) ' = ( w u ' - u w ' ) / w2
Mais u ' = u et w ' = w
Donc :
( u / w ) ' = ( w u - u w ) / w2 = 0 sur IR
La fonction u / w est donc constante sur IR.
Trouvons cette constante.
u ( 0 ) = 1 et w ( 0 ) = 1
Donc u / w prend la valeur 1 en 0.
Cette constante est donc 1
Ainsi on a : u / w = 1 sur IR
c-à-d u = w sur IR.
Contradiction
Conclusion : On a montré l'unicité.
( Cette fonction est appelée exp )
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EXERCICE 2
Soit u la fonction définie et dérivable dans IR
telle que:
u ' = u sur IR
u ( 0 ) = 1
( Cette fonction qui existe et est unique est appelée exp )
Soit la fonction auxiliaire g : x → u( a + b − x ) × u (x )
définie et dérivable sur IR comme produit et composée
de fonctions définies et dérivables dans IR où
a et b sont deux nombres réels .
1. Montrer que la fonction g est constante sur IR.
REPONSE:
Dérivons g.
Soit x dans IR.
g ' ( x ) = − u ' ( a + b − x ) × u (x ) + u( a + b − x ) × u ' ( x )
c-à-d comme u ' = u
g ' ( x ) = − u ( a + b − x ) × u (x ) + u( a + b − x ) × u ( x )
c-à-d
g ' ( x ) = 0 pour tout x dans IR
Conclusion: g est une fonction constante sur IR.
2. Trouver g( b ) et g ( 0 ) . En déduire une égalité u( a + b ) = u ( a )× u ( b ).
g ( b ) = u ( a + b − b ) × u (b ) = u ( a ) × u (b )
et
g ( 0 ) = u ( a + b ) × u (0 ) = u ( a + b ) × 1 = u ( a + b )
Comme g est constante sur IR
on a :
g ( b ) = g ( 0 )
c-à-d
u( a + b ) = u ( a ) × u ( b )
Conclusion :
g ( b ) = u ( a ) × u (b ) et g ( 0 ) = u ( a + b )
u( a + b ) = u ( a ) × u ( b ) pour tout a dans IR et b dans IR.
( On écrit: exp( a + b ) = exp ( a )× exp( b ) pour tout a dans IR et b dans IR. )
3. Dans l'exercice n° 1 on a vu que
u( - x ) = 1 / u ( x )
pour tout x dans IR.
Déduire de la question précédente que :
u ( a − b ) = u ( a ) / u ( b ) pour tout a et tout b dans IR.
Soit a et b deux nombres réels quelconques.
On a : u ( a − b ) = u ( a + ( − b ) ) = u ( a ) × u ( − b )
Mais u ( − b ) = 1 / u ( b )
Donc :