Devoir n° 3 TS1 pour le samedi 12 octobre 2014
EXERCICE 1
Soit la suite récurrente ( un ) définie sur IN par:
u0 = 1
u n + 1 = f( un ) pour tout n dans IN
avec la fonction f : x → x / ( x + 2 )
1. Montrer que la suite ( un ) est à termes positifs sur IN.
2. Donner sur IN le sens de variation de la suite ( un ).
3. Montrer qu'elle est convergente . On note L sa limite.
Quelle condition sur L a -t-on ?
4. Donner au moyen de la calculatrice des valeurs approchées de
ses huit premiers termes.
5. On admet que quand l'entier n est très grand , un , un + 1 , L
sont pratiquement confondus.
Quelle relation L vérifie-t-elle?
6. Résoudre dans l'ensemble des réels positifs l'équation x2 + x = 0.
En déduire L.
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EXERCICE 2
On considère la suite récurrente ( vn ) définie sur IN par:
v0 = a où a est un réel fixé positif
vn + 1 = √( vn + 6 ) pour tout n dans IN
1. Donner le sens de variation de la fonction f : x →√( x + 6 ) sur
l'intervalle [ 0 , + ∞ [.
2. Montrer que la suite ( vn ) est minorée par 0 sur IN.
3 . Dans chacun des cas suivants donner le sens
de variation de la suite ( vn ) sur IN.
• a = 3
• a = 0
• a = 10
Le sens de variation de f permet-il de donner celui de la suite ( vn )?
4. Dans cette question a = 0.
a.Montrer que la suite ( vn )est majorée par 3 sur IN.
b.Justifier que la suite ( vn ) converge vers un réel L.
L est - il positif?
c . Résoudre dans l'intervalle [ 0 , + ∞ [ l'équation x2 - x - 6 = 0.
En déduire L.
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EXERCICE 3
Soient les trois suites définies sur IN de termes généraux :
wn = 2 / 5n hn = 3 ( √2 )n dn = ( - 1 )n / 5 pour tout n dans IN
Etudier la convergence éventuelle de chacune.
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