Dv n° 3 TS1 maison 11 octobre 2014

                          Devoir  n° 3           TS1            pour le samedi  12 octobre 2014

          EXERCICE 1

                   Soit la suite récurrente ( un ) définie sur IN par:

                             u0 = 1

                             u n + 1  = f( un )     pour tout n dans IN

                              avec la fonction      f : x  x / ( x + 2 )

                1. Montrer que la suite ( un ) est à termes positifs sur IN.

                2. Donner sur IN le sens de variation de la suite ( un ).    

                3. Montrer qu'elle est convergente . On note L sa limite.

                    Quelle condition sur L a -t-on ?

                4. Donner au moyen de la calculatrice des valeurs approchées de

                   ses huit premiers termes.  

                5. On admet que quand l'entier n est très grand , un , un + 1  , L 

                    sont pratiquement confondus.

                    Quelle relation L vérifie-t-elle?

                6. Résoudre dans l'ensemble des réels positifs  l'équation x2 + x = 0.

                    En déduire L.

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              EXERCICE 2

               On considère la suite récurrente ( vn ) définie sur IN par:

                    v0 = a               où a est un réel fixé positif

                     vn + 1 = √( vn + 6 )   pour tout n dans IN

            1. Donner le sens de variation de la fonction f : x √( x + 6 )   sur

                l'intervalle  [ 0 , +  ∞ [.

            2. Montrer que la suite ( vn ) est minorée par 0 sur IN.

            3 . Dans chacun des cas suivants donner le sens

                de variation de la suite ( vn ) sur IN.

                   • a = 3

                   • a = 0

                   • a = 10

                 Le sens de variation de f permet-il de donner celui de la suite ( vn  )?

              4. Dans cette question a = 0.

                   a.Montrer que la suite ( vn )est majorée par 3 sur IN.

                   b.Justifier que la suite ( vn ) converge vers un réel L. 

                      L est - il positif?

                   c . Résoudre dans l'intervalle  [ 0 , +  ∞ [ l'équation  x2 - x - 6 = 0.

                         En déduire L.

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           EXERCICE 3

               Soient les trois suites définies sur IN de termes généraux :  

             wn = 2 / 5n                       hn = 3 ( √2 )n          dn =  ( - 1 )n / 5   pour tout n dans IN

             Etudier la convergence éventuelle de chacune.

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