LISTE D'EXERCICES SUR LA DERIVATION DE LA COMPOSEE DE FONCTIONs TS Décembre 2010
EXERCICE
Pour chaque fonction f préciser la fonction dérivée ainsi que le domaine de dérivabilité.
1. Soit f : x → √( 3 x² + 1 )
2. Soit f : x → √( 4 x² - 3 x - 1 )
3. Soit f : x → √( ( x + 1 ) / ( x - 1 ) )
4 Soit f : x → x √( 4 x² - 1 )
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Réponse:
1. Soit la fonction u : x → 3 x² + 1 .
On a : 3 x² + 1 > 0 pour tout x dans IR
La fonction polynôme u est définie , dérivable et strictement positive sur IR.
On a : f = √u
Ainsi f est définie et dérivable sur IR.
De plus f ' = ( √u ) ' = u ' / ( 2 √u )
Ici u ' : x → 6 x
Soit x dans IR.
On a : f ' ( x ) = ( 6 x ) / ( 2 √( 3 x² + 1 ) )
c-à-d f ' ( x ) = 3 x / √( 3 x² + 1 )
Conclusion Df = IR Dd = IR
f ' : x → 3 x / √( 3 x² + 1
2. Soit la fonction u : x → 4 x² - 3 x - 1 .
4 x² - 3 x - 1 est un trinôme du second degré.
1 est une racine évidente de 4 x² - 3 x - 1 car 4 - 3 - 1 = 0
L'autre est donc c / a = - 1 / 4
Ainsi :
4 x² - 3 x - 1 est du signe de a = 4 quand x est à l'extérieur des racines.
c-à-d 4 x² - 3 x - 1 > 0 ssi x est dans ] - ∞, - 1 / 4 [ U ] 1 , +∞ [.
Donc : f est définie sur ] - ∞, - 1 / 4] U [ 1 , +∞ [.
La fonction polynôme u est définie dérivable et strictement positive
sur ] - ∞ , - 1 / 4 [ U ] 1 , + ∞ [.
On a : f = √u
Ainsi f est définie et dérivable sur ] - ∞, - 1 / 4 [ U ] 1 , +∞ [
De plus f ' = ( √u ) ' = u ' / ( 2 √u )
Ici u ' : x → 8 x - 3
Soit x dans ] - ∞, - 1 / 4 [ U ] 1 , +∞ [ .
On a : f ' ( x ) = ( 8 x - 3 ) / ( 2 √( 4 x² - 3 x - 1 ) )
Conclusion Dd = ] - ∞, - 1 / 4 [ U ] 1 , +∞ [
f ' : x → ( 8 x - 3 ) / ( 2 √( 4 x² - 3 x - 1 ) )
4. Soit u : x → ( x + 1 ) / ( x - 1 )
La fonction rationnelle u est définie et dérivable sur IR - { 1 } .
On a :
( x + 1 ) / ( x - 1 ) > 0 ssi ( x + 1 ) × ( x - 1 ) > 0
Ainsi ( x + 1 ) / ( x - 1 ) > 0 ssi x est dans ] - ∞, - 1 [ U ] 1 , +∞ [ .
La fonction rationnelle u est définie dérivable et strictement positive
sur ] - ∞, - 1 [ U ] 1 , +∞ [ .
Ainsi f est définie et dérivable sur ] - ∞, - 1 [ U ] 1 , +∞ [ .
On a : f = ( √u )
Donc f est définie et dérivable sur ] - ∞, - 1 [ U ] 1 , +∞ [ .
De plus f ' = ( √u ) ' = u ' / ( 2 √u )
Soit x dans ] - ∞, - 1 [ U ] 1 , +∞ [ .
On peut modifier l'écriture de u( x ) pour faciliter
la recherche de u ' ( x ).
On a : u( x ) = ( x + 1 ) / ( x - 1 )
c-à-d u( x ) = ( x - 1 + 2 ) / ( x - 1 ) = 1 + 2 / ( x - 1 )
c-à-d u( x ) = 1 + 2 [ 1 / ( x - 1 ) ]
Donc : u ' ( x ) = 2 ( - 1 / ( x - 1 )² ) = - 2 / ( x - 1 )²
D'où f '( x ) = [ - 2 / ( x - 1 )² ] / ( 2 √ ( ( x + 1 ) / ( x - 1 ) ) )
c-à-d f '( x ) = [ - 1 / ( x - 1 )² ] / √ ( ( x + 1 ) / ( x - 1 ) )
Conclusion Dd = ] - ∞, - 1 [ U ] 1 , +∞ [
f ' : x → [ - 1 / ( x - 1 )² ] √ ( ( x - 1 ) / ( x + 1 ) )
4. Soit u : x → 4 x² - 1
4 x² - 1 = ( 2 x )² - 1² = ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )
Donc 4 x² - 1 = 0 ssi x = - 1 / 2 ou x = 1 / 2
Ainsi : 4 x² - 1 > ssi x dans ] - ∞, - 1 / 2 [ U ] 1 / 2, +∞ [ .
D'où la fonction polynôme u est définie dérivable et strictement positive
sur ] - ∞, - 1 / 4 [ U ] 1 / 4 , +∞ [ .
La fonction √u est définie et dérivable sur ] - ∞, - 1 / 2 [ U ] 1 / 2, +∞ [ .
De plus ( √u ) ' = u ' / ( 2 √u )
Ici u ' : x → 8 x
f est définie et dérivable sur ] - ∞, - 1 / 2 [ U ] 1 / 2, +∞ [
comme produit de fonctions définies et dérivables
dans ] - ∞, - 1 / 2 [ U ] 1 / 2, +∞ [ .
Soit x dans ] - ∞, - 1 / 2 [ U ] 1 / 2, +∞ [ .
On a : f ' ( x ) = 1 √( 4 x² - 1 ) + x ( 8 x / ( 2 √( 4 x² - 1 ) ) )
c-à-d f ' ( x ) = √( 4 x² - 1 ) + 4 x² / √( 4 x² - 1 )
Conclusion Dd = ] - ∞, - 1 / 2 [ U ] 1 / 2 , +∞ [
f ' : x → √( 4 x² - 1 ) + 4 x² / √( 4 x² - 1 )