LISTE 1 D' EX. DERIV. DE COMPO.

          LISTE D'EXERCICES SUR LA DERIVATION DE LA COMPOSEE DE FONCTIONs     TS      Décembre 2010

     EXERCICE

         Pour chaque fonction f  préciser la fonction dérivée ainsi que le domaine de dérivabilité.

           1. Soit     f : x →  √( 3 x² + 1 )

           2. Soit    f :  x →  √( 4 x² - 3 x - 1 )

           3. Soit    f :   x →  √( ( x + 1 ) / ( x - 1 ) )

           4  Soit     f : x → x √( 4 x² - 1 )

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        Réponse:

         1. Soit la fonction  u :  x →  3 x² + 1 .

                 On a :   3 x² + 1 > 0 pour tout x dans IR

       La fonction polynôme u est définie , dérivable et strictement positive sur IR.

             On a :   f = √u

              Ainsi f est définie et dérivable sur IR.

           De plus f ' = ( √u ) ' = u ' / ( 2 √u )

           Ici   u ' :  x →  6 x 

           Soit x dans IR.

          On a :   f ' ( x ) = ( 6 x ) /  ( 2 √( 3 x² + 1 )  )

         c-à-d    f ' ( x ) = 3 x / √( 3 x² + 1 )

       Conclusion         Df =  IR    Dd = IR  

                             f ' : x →   3 x / √( 3 x² + 1 

           2.   Soit la fonction  u :  x →   4 x² - 3 x - 1 .

                 4 x² - 3 x - 1 est un trinôme du second degré. 

               1 est une racine évidente de  4 x² - 3 x - 1  car 4 - 3 - 1 = 0

               L'autre est donc c / a = - 1 / 4

               Ainsi :

                4 x² - 3 x - 1 est du signe de a = 4  quand x est à l'extérieur des racines.

               c-à-d         4 x² - 3 x - 1 > 0  ssi  x est dans  ] - ∞, - 1 / 4 [ U ] 1 , +∞ [.

                 Donc :  f est définie sur ] - ∞, - 1 / 4]  U [ 1 , +∞ [.

                La fonction polynôme u est définie dérivable et strictement positive

                  sur  ] -  ∞ , - 1 / 4 [ U ] 1 , + ∞ [.

                On a :    f =  √u

              Ainsi f est définie et dérivable sur  ] - ∞, - 1 / 4 [ U ] 1 , +∞ [     

              De plus f ' = ( √u ) ' = u ' / ( 2 √u )

                    Ici   u ' :  x →  8 x - 3  

             Soit x dans  ] - ∞, - 1 / 4 [ U ] 1 , +∞ [ .

            On a :   f ' ( x ) = ( 8 x  - 3  ) /  ( 2 √(  4 x² - 3 x - 1 )  )

          Conclusion          Dd =  ] - ∞, - 1 / 4 [ U ] 1 , +∞ [            

                       f ' : x    →  ( 8 x  - 3  ) /  ( 2 √(  4 x² - 3 x - 1 )  )

         4.  Soit u : x  →  ( x + 1 ) / ( x - 1 )

             La fonction rationnelle u est définie et dérivable sur IR - { 1 }  .

             On a : 

             ( x + 1 ) / ( x - 1 ) > 0    ssi     ( x + 1 ) × ( x - 1 ) > 0

              Ainsi    ( x + 1 ) / ( x - 1 ) > 0    ssi      x est dans ] - ∞, - 1  [ U ] 1 , +∞ [ .

                La fonction rationnelle u est définie dérivable et strictement positive

                   sur  ] - ∞, - 1  [ U ] 1 , +∞ [ .

                Ainsi f est définie et dérivable sur  ] - ∞, - 1  [ U ] 1 , +∞ [  .

                On  a :  f   = ( √u )

              Donc   f est définie et dérivable sur  ] - ∞, - 1  [ U ] 1 , +∞ [  .

                De plus f ' = ( √u ) ' = u ' / ( 2 √u )

                Soit x dans   ] - ∞, - 1  [ U ] 1 , +∞ [  .

                On peut modifier l'écriture de u( x ) pour faciliter

                la recherche de u ' ( x ).

      On a :     u( x ) = ( x + 1  ) / ( x - 1 ) 

      c-à-d              u( x ) = ( x - 1 + 2  ) / ( x - 1 )  = 1 +  2 / ( x - 1 )

      c-à-d            u( x ) = 1 + 2 [  1 / ( x - 1 )  ]

        Donc  :        u ' ( x ) = 2 ( - 1 / ( x - 1 )²  )  =  -  2 /  ( x - 1 )² 

         D'où        f '( x ) = [  - 2 /  ( x - 1 )²  ] /  ( 2   √ ( ( x + 1 ) / ( x - 1 )  ) )

          c-à-d   f '( x ) = [  - 1 /  ( x - 1 )²  ] /  √ ( ( x + 1 ) / ( x - 1 )  )

          Conclusion          Dd =  ] - ∞, - 1  [ U ] 1 , +∞ [   

                        f ' : x    → [  - 1 / ( x - 1 )² ]  √ ( ( x - 1 ) / ( x + 1 )  )  

       4.     Soit u : x  → 4  x² - 1

            4  x² - 1 = ( 2 x )²  - 1²    =  ( 2 x  - 1 ) ( 2 x + 1 )

          Donc   4  x² - 1 = 0   ssi   x = - 1 / 2  ou x = 1 / 2

          Ainsi :    4  x² - 1 >  ssi   x   dans   ] - ∞, - 1 / 2  [ U ] 1 / 2, +∞ [  .

         D'où  la fonction polynôme u est définie dérivable et strictement positive

                    sur  ] - ∞, - 1 / 4  [ U ] 1 / 4 , +∞ [ .

            La fonction  √u   est définie et dérivable sur   ] - ∞, - 1 / 2  [ U ] 1 / 2, +∞ [  .

             De plus   (   √u   ) '  = u ' / ( 2  √u   )

            Ici  u ' : x  →  8 x

                f est définie et dérivable sur  ] - ∞, - 1 / 2  [ U ] 1 / 2, +∞ [  

              comme produit de fonctions définies et dérivables

              dans  ] - ∞, - 1 / 2  [ U ] 1 / 2, +∞ [  .

            Soit x dans  ] - ∞, - 1 / 2  [ U ] 1 / 2, +∞ [  .

              On a :  f ' ( x ) = 1 √( 4 x² - 1 ) + x ( 8 x / ( 2 √( 4 x² - 1 ) ) )

               c-à-d    f ' ( x ) = √( 4 x² - 1 ) +  4 x² / √( 4 x² - 1 )     

               Conclusion          Dd =  ] - ∞, - 1 / 2 [ U ] 1 / 2 , +∞ [   

                           f ' : x    →   √( 4 x² - 1 ) +  4 x² / √( 4 x² - 1 )