INFO TEST : Limite, Continuité, Th de la bijection. TS

                                  INFO  TEST   TS    Novembre 2013
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   REPONSE:

     1.  Explicitons u(v(x)) et v(u(x)).

          Soit x ≥ 0  

                   On a :         u(v(x) ) = u( √x  ) 

                  c-à-d            u(v(x) ) = √x  + 1 

           Soit x ≥ - 1  

                 On a :           v(u(x)= √( u(x) )

                   c-à-d           v(u(x)= √(x + 1 )  

      2. Donnons les limites de f en + ∞ et en  - ∞ .

                         f est une fonction rationnelle.

                    Considérons :     - x2  +  3  x  - 5 

                          On a :                  Δ = 9 - 20 = -11

                          Donc                   Δ < 0    

                    Ainsi :

                                         - x2  +  3  x  - 5  ≠ 0   pour tout x dans IR     

                   La fonction f est définie sur IR .

                    + ∞   et  -   ∞   sont des extrémités de l'intervalle de définition.

                  On peut faire la recherche.

                   Soit x ≠ 0

                  On a:      

                       x  / ( - x2  )    = - 1 / x            quotient simplifié des termes de plus haut degré

                      Or                  lim ( - 1 / x ) = 0          et     lim ( - 1 / x ) = 0

                                             x →  +  ∞                          x →  -  ∞   

                      Donc :               lim f( x ) = 0               et        lim f( x ) = 0   

                                                  x →  +  ∞                                x →  -  ∞

                            Conclusion :    lim f( x ) = 0               et        lim f( x ) = 0 

                                                            x →  +  ∞                 x →  -  ∞  

                          La droite  d'équation  y = 0    c'est-à-dire  l'axe des abscisses

                            est une asymptote horizontale pour la courbe de f   en + ∞   et  en  - ∞ .  

                     3.    Montrons que la droite D : y = x  + 1  est une asymptote pour Cg en  + ∞   

                                        dqu3-1.png                                       

      x3  +  x2   +  x + 4    |   x2 + 1
 - ( x3       +      x) |______
 ---------------- |    x + 1
         x2      +   4 | 
     -(  x2   +   1) |
     ------------ |
                   3 |
   
                 Ainsi  
   
   

                               x3  +  x2   +  x + 4    =  (   x2 + 1 )( x + 1 ) + 3     pour tout réel x

       c-à-d            

                               fong.png 

    c-à-d                         g( x) - ( x + 1 ) = 3 / ( x2 + 1 )

               Mais 

                         lim( 3 / ( x2 + 1 ) )   =  0        sachant    lim   ( x2 + 1 )   = lim  ( x2  ) = +  ∞

                            x →  +  ∞                                               x →  +  ∞                 x →  +  ∞

            Ainsi:

                        lim ( g( x ) - (  x + 1 )  )  =  0  

                     x →  +  ∞  

            Conclusion:   a droite D : y = x  + 1  est une asymptote pour Cg en  + ∞

     4. Trouvons  lim ( √ (x + 3 )    -  √( x + 2 ) )

                                  x →  +  ∞    

             La fonction h est définie quand x ≥ - 3  et  x ≥  -  2   c-à-d  quand    x ≥  -  2.

                Dh = [ - 2 , +  ∞ [

              + ∞ est une extrémité de l'intervalle de définition.

                       On peut faire la recherche.

          Soit x > 0.

            On a :

                          difrac.png

                  On a:   

         √ x   ≤ √( x + 2 )  ≤ √ (x + 3 )    +  √( x + 2 )  

                      et             lim  √ x    = + ∞

                                      x  →  +  ∞


                      Donc d'après un résultat de cours:                          

                                lim ( √ (x + 3 )    +  √( x + 2 )  )  = + ∞

                                      x  →  +  ∞

                     Ainsi :

                              limdiff-1.png

                    Donc:

              Conclusion: 

                                      lim h = 0   

                                      + ∞

            5. Donnons les variations de    w: x→ - x3 + 3 x + 1.

                   C'est une fonction polynôme définie et dérivable dans IR.

                     Soit x dans IR.

                    On a :                 w ' ( x ) = - 3 x2  + 3  = 3 ( 1 -  x2 )

                    c-à-d                   w ' ( x ) =  3 ( 1 - x )( 1 + x ) 

                               Forme factorisée d'un trinôme du second degré

                       On a :            a = - 1  donc   a < 0

                    Donc :      w '( x ) = 0   ssi   x = - 1 ou   x = 1

                                    w ' > 0   sur ] - 1 ; 1 [

                                    w ' < 0     sur ] - ∞ , - 1 [ U ] 1 , + ∞ [

                               Conclusion :   w est strictement croissante sur [ - 1 ; 1 ].

                                                      w est strictement décroissante sur les intervalles 

                                                       ] - ∞ , - 1 ]   et   [1 , + ∞ [  .              

                •  Montrons que l'équation w ( x ) = 0 admet une

                     unique solution dans l'intervalle [ - 1 ; 1 ]

                       Récapitulons les informatios utiles pour répondre:

                            f est définie continue sur IR comme fonction polynôme.

                             f est strictement croissante sur [ - 1 ; 1 ]

                            f ( - 1 ) =  - 1       et f (1 ) = 3

                           0 est compris entre f( - 1 ) et f( 1 )

                       D'après le Th.de la bijection

                       c'est-à-dire , d'après le corollaire du Th.

                       des valeurs intermédiaires,  on peut   affirmer:

                      Conclusion :    L'équation: w ( x ) = 0

                        admet une unique solution dans [ - 1 ; 1 ]

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