INFO 1 INTERRO DERIV-LIM 1S

              INFO 1           PROJET  D' INTERROGATION                10  AVRIL  2010

 NOM :    ................     PRENOM:  .....................DATE:    ...........    Classe: 1S1 

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• Soit g( x ) = 2 √x  - 1     avec x ≥ 0.  Donner le signe de g( x ) suivant x dans IR+ .

               Soit   x dans IR+ .

    On a :    

                2 √x  - 1  =  0       s'écrit        √x = 1 / 2      c-à-d     x = 1 / 4     

   Sachant  que la fonction   x → x²   est croissante sur l'intervalle [ 0 , + ∞[    

.                2 √(x)  - 1  >  0         s'écrit        √x  > 1 / 2      puis     x > 1 / 4

      Ainsi on peut remplir le tableau de signes :   

              Conclusion:  

x 0                              1 / 4                                             + ∞
g(x )              -                    0                    +
• Soit la fonction f : x → x -  √x   définie sur IR+ .

  • •  Trouver f '( x ) pour tout x dans IR+ *.

.     La fonction f : x → x -  √x   est définie sur IR+ et dérivable  sur IR+* comme  √ .

        On a :                f ' : x →  1  -  1 / ( 2√x )

         c-à-d     

  Conclusion:     f ' : x  → (  2 √x   -  1  ) / ( 2√x )

  • • Donner le tableau de variation de f.

        Comme ( 2√x ) >  0 pour tout x dans IR+* 

         f ' ( x ) est du signe de  2 √(x)  - 1   pour tout  x dans IR+*  .

      On a :      f ( 1 / 4 ) = 1 / 4  - √ (1 / 4 ) =  1 / 4  - 1 / 2 = - 1 / 4

     Conclusion:  

x 0                                      1/ 4                                                 + ∞
f '( x ) ||             -                        0                    +        
f( x )                 ↓                    - 1 / 4               ↑                                      

   • • Trouver   lim  ( √x - 1 ) √x  .

                       x  → + 

.        On a :         lim √ x =  +  ∞

                           x  → +  ∞

                Donc        lim [( √x - 1 ) ] = +  ∞

                                 x  → +  ∞

            Ainsi pour le produit  on a :

              Conclusion:              lim   ( √x - 1 ) √x   =  + 

                                              x  → +  ∞

                  • • Donner  lim f( x ) .

                     x  → + 

.     Soit x > 0 .

    On a :         f ( x ) = x -  √x  = ( √x - 1 ) √x

       c-à-d              f ( x ) =   ( √x - 1 ) √x

   D'après  la limite précédente on a:                              

          Conclusion:   lim f (x)  = +  ∞

                               x  → +  ∞

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