INFO EX 1 DS n° 1 TS 29 / 09 /12

                                INFO EX 1  DS 1  TS   29 sept. 2012

 

     EXERCICE 1  Bac S Nvelle. C. Série S 2008      

    On considère la fonction f définie sur l’intervalle ] - ∞ , 6 [ par :

                         f : x → 9 / ( 6 - x )

          On définit la suite ( un ) par :

                u0 = - 3

                un + 1  =  f( un  )      pour tout entier naturel n.

      1.a. Démontrer que si, x < 3  alors   9 / ( 6 - x ) < 3   

                Réponse:

                    Soit        x < 3

                    c-à-d     0 < 3 - x           

                    c-à-d     3  < 6 - x      en ajoutant  3 à chaque membre                       

             Donc      1 / ( 6 - x ) < 1 / 3

              c-à-d        9 / ( 6 - x ) < 9 / 3 

              c-à-d           9 / ( 6 - x ) <  3 

         Conclusion :  si, x < 3  alors   9 / ( 6 - x ) < 3 

                         c-à-d    x < 3  alors   f( x ) < 3 

    ≡ Déduire que  un  < 3  pour tout n dans IN.

         Réponse: 

       Montrons le par récurrence dans IN.

             •n = 0 

               On a :       - 3 < 3     c-à-d      u0  < 3 

                Ainsi :         un  < 3  est vrai pour n = 0

              • Soit n dans IN quelconque.

                  Montrons que si un  < 3  alors un + 1  < 3 

                  Considérons  un  < 3  

                  d'après le début de la question   f(  un  ) < 3  

                  c-à-d    un + 1  < 3  

                  Conclusion :  un  < 3  pour tout n dans IN.

     b. Etudier le sens de variations de la suite ( un ) .

             Réponse :                

         Calculons  u1    pour pouvoir faire une conjecture .

           On a :    u1 =  f(  u0 )   = 9 / ( 6 -  u0 ) = 9 / ( 6 +3 ) = 1

             c-à-d    u1  = 1

             Ainsi         - 3 < 1   c-à-d    u0 < u1   

             On peut conjecturer que la suite est croissante.

            Montrons le par récurrence sur IN.

            Pour cela montrons que    un ≤  un + 1    pour tout n dans IN

           • n = 0

             On a vu que    u0  ≤  u1   

               Donc l'inégalité est vrais pour n = 0

              • Soit n dans IN.

                Montrons que si  un ≤  un + 1   alors  un + 1 ≤  un +  2    

               Considérons  un ≤  un + 1  

                La fonction rationnelle f : x→  - 9 × 1 / ( x - 6 ) est définie et dérivable

                sur l'intervalle  ] - ∞ , 6 [.

                On a :   f ' : x→  9 / ( x - 6  )2  

                 Ainsi      f ' > 0   sur  ] - ∞ , 6 [

                 D'où     f est croissante sur  ] - ∞ , 6 [.

             Comme  un ≤  un + 1  < 3  on a   f( un ) ≤ f( un + 1 )

                      Donc    un + 1   ≤  un + 2    

             Conclusion : La suite (  un ) est croissante sur IN     

       c. Que peut-on déduire des questions 1.a. et 1.b. ?

             Réponse:

             La suite ( un ) est croissante et majorée par 3 sur IN.

             Conclusion : Elle est convergente.

        2. On considère la suite ( v n ) définie sur IN par : 

             vn = 1 /  ( un - 3 )

              a. Démontrer que la suite  ( v n ) est une suite arithmétique

                de raison - 1 / 3.

               Réponse:

          Soit n dans IN

          demonstration.gif

        b. Déterminer ( vn ) puis ( un ) en fonction de n .

             Réponse:

               On a     v0 = 1 / ( u0 - 3 )       u0 = - 3

             Donc   v0  = - 1 / 6

              Or    vn = v0 + n r   avec   r = - 1 / 3

          Conclusion :    vn = - 1 / 6  - n / 3    pour tout n dans IN 

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