INFO FEUILLE EX DEBUT DE LA DERIVATION 1S 12/02/10
EXERCICE III
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C de la fonction f au point A d'abscisse a.
a. C: y = x² et a = 2.
f( x ) = x² pour toit x dans IR.
f est dérivable dans IR donc en a = 2.
f '( x ) =2 x pour tout réel x.
Nous avons : f( 2 ) = 2² = 4 et f '( 2 ) = 2 ×2 = 4
Reportons dans l'équation de T : y = f '(a ) ( x -a ) + f( a )
Il vient : y = 4 ( x - 2 ) + 4
c-à-d y = 4 x - 4
Conclusion: T : y = 4 x - 4
b. C: y = x² et a = - 3.
Encore on a f( x ) = x² pour tout réel x.
f '( - 3 ) = - 6 et f( - 3 ) = 9
En reportant dans l'équation de T : y = f '(a ) ( x -a ) + f( a ) on obtient:
y = - 6 ( x + 3 ) + 9
c-à-d y = - 6 x - 1 8+ 9
Conclusion: T : y = - 6 x - 9
c. C: y = 1 / x et a = 3 .
On a f( x ) = 1 / x pour tout réel x non nul.
f est définie et dérivable dans IR* .
f '( x ) = - 1 / x² pour tout réel x non nul.
On a : f '( 3 ) = - 1 / 9 et f( 3 ) =1 / 3
En reportant dans l'équation de T : y = f '(a ) ( x -a ) + f( a ) on obtient:
y = ( - 1 / 9 ) ( x - 3 ) + 1 / 3
c-à-d y = ( - 1 / 9 ) x + 1 / 3 + 1 / 3
Conclusion: T : y = ( - 1 / 9 ) x + 2 / 3
d. C: y = cos x et x = Π / 2.
f = cos
Cos est définie et dérivable sur IR . cos ' = - sin
Donc f( Π / 2 ) = cos Π / 2 = 0 et f ' ( Π / 2 ) = - sin Π / 2 = - 1
En reportant dans l'équation de T : y = f '(a ) ( x -a ) + f( a ) on obtient:
y = - ( x - Π / 2 ) + 0
c-à-d y = - x + Π / 2
Conclusion: T : y = - x + Π / 2
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EXERCICE IV
Calculer f '( x ) pour chacune des fonctions f proposées.
a. f( x ) = 2 x² + 3 x .
f est une fonction polynome. Elle est donc définie et dérivable dans IR.
On a : f ' ( x ) = 2 ( 2 x ) + 3 pour tout x dans IR.
Conclusion: f ' ( x ) = 4 x + 3 avec x dans IR.
b. f( x ) = 2 x + 1
f est une fonction affine. Elle est donc définie et dérivable dans IR.
Son coefficient directeur est 2.
Conclusion: f '( x ) = 2 avec x dans IR.
c. f( x ) = - 4 x + 6
f est une fonction affine. Elle est donc définie et dérivable dans IR.
Son coefficient directeur est - 4 .
Conclusion: f '( x ) = - 4 avec x dans IR.
d. f( x ) = 2 x² - 5 x
f est une fonction polynome. Elle est donc définie et dérivable dans IR.
On a : f ' ( x ) = 2 ( 2 x ) - 5 pour tout x dans IR.
Conclusion: f '( x ) = 4 x - 5 avec x dans IR.