INFO 1 FEUILLE 1 D'EX NOMBRES COMPLEXES

INFO1FEUILLE EX NOMB. COMPLEXE

           INFO  1    FEUILLE 1 D'EX       NOMBRES COMPLEXES           TS         13 /09 / 10

      1.    Soit l'équation    4 z² - 12 z +25 = 0.

                                 a = 4     b' = - 6     c = 25                b = 2 b '        b = - 6

           . Résolvons l'équation  dans l'ensemble des nombres complexes. 

           On a le discriminant simplifié:    Δ' = b' ² - ac

          c-à-d            Δ' = 36 - 100 = - 64 = - 8² 

         Ainsi            Δ' < 0

                        Δ' = ( 8 i )²      ( Les racines deuxièmes de   Δ'  sont   δ ' = 8 i    et    -  δ ' = - 8 i )

            Les deux solutions de ( 1 ) sont :

             (- b ' - i √| Δ' |) / a = ( 6 - 8 i ) / 4 = ( 3 - 4 i ) /2

            (- b ' + i √| Δ' |) / a =  ( 6 + 8 i ) / 4 = ( 3 + 4 i ) /2

           Conclusion: {3 / 2 - 2 i ;  3 / 2 + 2 i }

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  

       2.    Résolvons z² - z + 1 = 0 dans l'ensemble des nombres complexes.  

              j étant une solution de     z² +  z + 1 = 0  on a :

                j² + j + 1 = 0  

             Donc     ( - j )² - ( - j ) + 1 = 0

           Ainsi      - j       est une solution de    z² -  z + 1 = 0  .

          Comme les coefficients   z² - z + 1 = 0   sont des réels on a le conjugué de   - j    

          qui en est aussi une solution.

           Conclusion:   L'ensemble solution est 

                                      

------------------------------------------------------------------------------------------------------

    3.

          Mettons sous la forme algébrique le quotient   ( 1 + i ) / (  1 - i ).

           (L'idée est de multiplier en "haut" et en "bas" par  1 + i  le conjugué de 1 - i  )

              On a:    ( 1 + i ) / (  1 - i ) = [ ( 1 + i ) (  1 + i ) ] / [ ( 1 - i ) ( 1 + i ) ]

               c-à-d

                      ( 1 + i ) / (  1 - i ) =  ( 1 + i )²  / ( 1² - i² )

             c-à-d

                        ( 1 + i ) / (  1 - i ) =  ( 1 + 2 i  - 1 )  / 2       

            c-à-d

           Conclusion :        ( 1 + i ) / (  1 - i ) = i

  -----------------------------------------------------------------------------------------      

        4.    Soit       Z = ( z + i ) / ( z - i )       

                avec z = x + i y  un nombre complexe distinct de i .   

           • Donnons la condition à imposer au couple  ( x , y ).

             z ≠ i     se traduit par   x + i y   ≠ 0 + 1 i  

                          c-à-d        x ≠ 0    ou    y ≠ 1

                          c-à-d      par  (  x  , y )  ≠ ( 0 , 1 )

             Conclusion:  La condition est :   (  x  , y )  ≠ ( 0 , 1 )

          •   Donnons la forme algébrique de Z.

             Soit (  x  , y )  ≠ ( 0 , 1 ).

              On a :

       Z =  ( x + i y + i ) / (  x + i y - i )

        c-à-d

        Z =  ( x + i ( y + 1 ) ) / (  x + i(  y - 1 ) )

         Selon le même principe on multiplie le numérateur et le dénominateur

         par le conjugué de x +i ( y - 1 ).

     On peut tout de suite remarquer que :

     (  x + i ( y - 1 ) ) (  x - i ( y - 1 ) = |  x +i ( y - 1 )|² = x² + ( y - 1 )²

          Il vient :

     Z=  [ ( x + i ( y + 1 ) )  (  x - i ( y - 1 ) ) ] /  ( x² + ( y - 1 )² )

    c-à-d     ( Eviter de développer le dénominateur )

       Z  =  [ x² +  ( y + 1 ) ( y - 1 )+ i x ( y + 1 ) - i x ( y - 1 ) ] /  ( x² + ( y - 1 )² )

     c-à-d

      Z  =  [ x² +   y² - 1 + i x y + ix     - i x y  + i x  ] /  ( x² + ( y - 1 )² )

       c-à-d

   Z  =  [ x² +   y² - 1 + 2 x   i] /  ( x² + ( y - 1 )² )

   Conclusion :  La forme algébrique de Z est :

          Z  =  ( x² +   y² - 1 ) /  ( x² + ( y - 1 )² )    +  i    ( 2  x )  / ( x² + ( y - 1 )² ) 

     avec   (  x  , y )  ≠ ( 0 , 1 ).

     •  Déterminons l'ensemble des points M( z ) du plan tels que

           Z soit dans IR.

          On a :    Z est un réel   ssi  Im( Z ) = 0

          Or      Im( Z ) = 0    s'écrit :

                    2  x  /  ( x² + ( y - 1 )² ) = 0      avec   (  x  , y )  ≠ ( 0 , 1 ).

                 c-à-d  

                           x = 0    et   (  x  , y )  ≠ ( 0 , 1 )

               c-à-d           x = 0    et     y ≠ 1

                                  

         Conclusion : L'ensemble cherché est l'axe des ordonnées privé du point de

        de cordonnées ( 0 ; 1 )    c'est-à-dire    d'affixe i

  --------------------------------------------------------------------

      5.  Résolvons dans l'ensemble des nombres complexes

                2 i z - i = 0.

           L'égalité donnée s'ecrit :  2 z - 1 = 0

                                      c-à-d    z = 1 / 2

                 Conclusion : L'ensemble solution est { 1 / 2 }

  -------------------------------------------------------- 

  6.

        Soit les points A( - 1 ) , B( 1 - 3 i )   , C ( 2 + 2 i ).

            Regardons si le triangle est isocèle en A ? rectangle en A ?

          On a :    zB - zA = 1 - 3 i - (  - 1 ) = 2 - 3 i

                      zC- zA =  2 + 2 i - ( - 1 ) = 3  + 2 i

          Donc      AB = |   zB - zA | = √( 2² + ( - 3 )² ) = √13

            et        AC = | zC- zA |= √( 3² + 2² ) =  √13

                  Conclusion : Le triangle ABC est isocèle en A.

           Utilisons le produit scalaire des vecteurs vect( AB ) et vect( AC ).

          On a vect( AB ) ( 2 ; - 3 )    et vect (AC ) ( 3 ; 2 )

           Ainsi : vect( AB ) . vect( AC ) = 2 × ( - 3 ) + 3 × 2 ) = 0

            Les vecteurs  vect( AB ) et vect( AC ) sont orthogonaux.

               Conclusion : Le triangle ABC est rectangle en A.

                             

----------------------------------------------------------------------

                (Voir la suite des exercices dans l'INFO 2 et l'INFO 3 de la feuille 1 .)