INFO EX 3 ; 4 ; 5 DS2 BTS1A

INFO  EX  3 ; 4 ; 5    DS2 BTS1A          22 nov. 08

      EX.3                   Résoudre dans IR  l'inégalité:

                                   3 ( x + 2 ) ( x - 7 ) < 0

                            ( Il est inutile de développer )  


  REP.          Nous voulons que le trinome du second degré qui

                    admet  - 2 et 7 comme racines  soit du signe contraire à

                    a = 3   . Nous devons donc prendre x entre les deux racines

                  en les refusant ici puisque l'inégalité est stricte.

                   Conclusion:                    SIR  = ] - 2   , 7[

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        EX.4   

                     Une grille comporte 49 cases numérotées de 1 à 49.

                     On demande de cocher 7 cases .

                    1. Combien de grilles remplies différentes peut - on avoir ?

                    2. Combien de grilles différentes remplies avec des nombres   

                         strictement supérieurs à 10 ,uniquement , peut-on avoir ?

                    3. Parmi les sept cases cochées par le joueur il y a le numéro complémentaire.

                        En admettant que le joueur a le bon numéro complémentaire , combien de

                       grilles différentes peut-on avoir ?

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 REP.              1. Dénombrons les griles remplies possibles du loto.

                           Il y en autant que de combinaisons de 7 cases parmi 49 cases.

                           II y en a donc :   C49   = 85 900 584 .

                           Conclusion:    Il y a 85 900 584 grilles différentes remplies.

                     2. Dénombrons les grilles remplies différentes où les cases

                      cochées ne comportent que des nombres impairs.

                      Il y a 39 entiers strictement supérieur à 10 .

                      Nous devons en choisir 7 parmi les 39possibles.

                       Il y a donc  C39     grilles différentes de ce type.

                    Conclusion :  Il y a 15 380 937  grilles remplies différentes

                                           avec seulement des nombres strictement

                   supérieurs  à 10.

                      3. On supppose que le joueur a déjà le bon numéro complémentaire.

                           Le nombre de grilles différente ayant déjà ce

 

                          numéro complémentaire bon est 1 × C48 6  .

                        Conclusion:  Il y a 12 271 512  grilles différentes où le numéro

                         complémentaire est le bon.

                       ATTENTION.   Le nombre de grilles différentes où

                       l'on choisi d'abord un numéro , qui est pour le joueur

                       son numéro complémentaire pas forcément le bon ,

                      puis  six autres numéros est :  7 × C48 6   .

                             Ce n'est pas ce que l'on demande. 

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             EX. 5 bis     ( Non proposé en BTS1A )

                                  Une urne contient  5  boules rouges et 15 boules jaunes.

                                   On tire  successivement  6 boules , sans remise , de l'urne.

                 1. Soit A l'événement:  " Obtenir des boules de la même couleur." 

                     Donner Card ( A ).

                2. Soit B l'evénement " Obtenir deux boules rouges et  quatre boules jaunes"

                   Donner  Card ( B ).

          REP .      ATTENTION : REMARQUE PRELIMINAIRE. 

                         •  " successivement" signifie qu'il y a un ordre. 

                            On ne considère donc pas des combinaisons. 

                          •  " Sans remise" signifie que l'on a des boules différentes. 

                     Chaque fois que l'on réalise l'expérience on a une partie ordonnée

                     de 6 boules de l'urne.

                       CHAQUE ISSUE DE L' EXPERIENCE est un ARRANGEMENT DE 6 BOULES

                        prises parmi les 20 boules de l'urne.

                      1. Le nombre de "tirages " de 6 boules jaunes successivement

                          sans remise est : A 15 6     =  3 603 600     

                           Donc il y a  3 603 600  "tirages " de 6 boules

                         de la même couleur.

                      Conclusion:  Card(A) = 3 603 600  .

                       2 . Imaginons que les deux boules rouges soient aux deux

                           premières places puis viennent les boules jaunes.

                           Schéma:    I 5  I  4 I 15  I 14 I  13 I  12 I  

                                              R     R    J      J     J      J

                        Il y aurait d'après le principe multiplicatif : 

                       (  5 × 4  ) ×  ( 15 × 14 × 13 ×12 ) possibilités

                       c-à-d    A5 2  × A15    = 20 × 32760 possibilités.

                        MAIS voilà,  les deux boules rouges peuvent se trouver

                        à deux autres places parmi 6 places.

                        Il y a  C6  = 15  façons de choisir les deux places

                       des deux boules rouges.

                       Il y a donc    C6 2   ×  A5 2  × A15    possibilités.                                               

                       Conclusion :   Card( B ) = 982 800

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           EX. 5                Une urne contient  5  boules rouges et 15 boules jaunes.

                                   On tire  simultanément  6 boules  de l'urne.

                 1. Soit A l'événement:  " Obtenir des boules de la même couleur." 

                     Donner Card ( A ).

                2. Soit B l'evénement " Obtenir deux boules rouges et  quatre boules jaunes"

                   Donner  Card ( B ).

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REP .  (  ATTENTION.  Il n'y a pas d'ordre dans l'exercice proposé en BTS1A

            à la différence du sujet proposé en BTS1B )

           1.  On a :

                  Card( A ) = C15      car  il y a chaque fois une combinaison de

                    6 boules jaune. ( Seule couleur possible puisqu'il n'y a que

                     5 boules rouges. )

                   Conclusion ;  Card( A ) = 5005

              2.  On a :

                 Card ( B ) =  C15     C15     = 13 650

                  Chaque élément de B est la réunion d'une partie de deux

                 boules rouges  avec une partie de quatre boules jaunes.

                 Conclusion :            Card( B ) =13650