FEUILLE 2 D'EX. V.A. CONTINUES

                  FEUILLE D'EXERCICES SUR LES V.A. CONTINUES           TS   Avril 2013

            EXERCICE 1

           Soit X une variable aléatoire continue sur [ 0 ; 1 ].

           Soit f : t → a t + b  , où a et b sont deux réels, sa fonction

           densité de probabilité.

           La courbe de f passe par le point A( 0 ; 1 / 2 )

             1. Déterminer f.

             2. Trouver la probabilité que X soit comprise entre 1 / 4 et 1.

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      REPONSE:

    1. Deux informations vont nous permettre de trouver les réels a et b.

            •  f( 0 ) = 1 / 2  car  la courbe de f passe par le point A( 0 ; 1 / 2 ).

           • ∫01 f(t) dt = 1

            f( 0 ) = 1 / 2   se traduit par    1 / 2 = b 

             ∫01 f(t) dt =1    se traduit par   [ (1 / 2 ) a t2   + b t ]1   = 1

                                        c-à-d      (1 / 2 ) a   + b   = 1

           En remplaçant b il vient:           (1 / 2 ) a   + ( 1 / 2)   = 1  

                                            c-à-d     a + 1 = 2

                                            c-à-d      a = 1

            Conclusion :     f : t → t + ( 1 / 2 )           sur [ 0 ; 1 ]

         2. Donnons  P ( 0,25 ≤ X ≤ 1 ).

              On a :

            P ( 0,25 ≤ X ≤ 1 ) =   ∫0,251  f(t) dt =  [ (1 / 2 )  t2   + ( 1 /2 ) t ]0,25 1   

       c-à-d

     P ( 0,25 ≤ X ≤ 1 ) = (1 / 2 )    + ( 1 /2 )  - (   (1 / 2 ) × 0,252   + ( 1 /2 )× 0,25 )

      c-à-d 

     P ( 0,25 ≤ X ≤ 1 ) = 1 - ( (1 / 32)  + (1 / 8 ) ) = 1 - (5 / 32) = 27 / 32

             Conclusion :      P ( 0,25 ≤ X ≤ 1 ) = 27 / 32

                        P ( 0,25 ≤ X ≤ 1 ) ≈ 0,8438

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       EXERCICE 2

          Soit X une variable aléatoire continue sur [ 0 ; 3] de

          loi de probabilité uniforme.

            1. Donner sa fonction densité de probabilité.

            2. Donner son espérance.

            3. Donner les probabilités  P( 1 < X ) et P( 0,5 < X < 2).

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           REPONSE:

     1. D'après le cours comme X est continue de loi uniforme sur [ 0 ; 3 ]

                f  : t → 1 / ( 3 - 0 )

        Conclusion :    Sa fonction densité de probabilité

                                    est:    f  : t → 1 / 3    sur [ 0 ; 3 ]

       2.  D'après le cours  on a :

                 E( X ) = ( 0 + 3 ) / 2  = 1 ,5

          Conclusion :  E( X ) = 1 , 5 

       3. Calculons P( 1 < X ) et P( 0,5 < X < 2).

            • On a :   P( 1 < X )= P(1 < X < 3) = ( 3 - 1 ) / ( 3 - 0 ) = 2 / 3

               Conclusion:   P( 1 < X ) = 2 / 3 

           •  On a :

            P( 0,5 < X < 2) = ( 2 - 0 , 5 ) / ( 3 - 0 )= 1,5 / 3 = 0, 5

                           Conclusion :      P( 0,5 < X < 2) = 0,5

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