FEUILLE D'EXERCICES SUR LES V.A. CONTINUES TS Avril 2013
EXERCICE 1
Soit X une variable aléatoire continue sur [ 0 ; 1 ].
Soit f : t → a t + b , où a et b sont deux réels, sa fonction
densité de probabilité.
La courbe de f passe par le point A( 0 ; 1 / 2 )
1. Déterminer f.
2. Trouver la probabilité que X soit comprise entre 1 / 4 et 1.
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REPONSE:
1. Deux informations vont nous permettre de trouver les réels a et b.
• f( 0 ) = 1 / 2 car la courbe de f passe par le point A( 0 ; 1 / 2 ).
• ∫01 f(t) dt = 1
f( 0 ) = 1 / 2 se traduit par 1 / 2 = b
∫01 f(t) dt =1 se traduit par [ (1 / 2 ) a t2 + b t ]0 1 = 1
c-à-d (1 / 2 ) a + b = 1
En remplaçant b il vient: (1 / 2 ) a + ( 1 / 2) = 1
c-à-d a + 1 = 2
c-à-d a = 1
Conclusion : f : t → t + ( 1 / 2 ) sur [ 0 ; 1 ]
2. Donnons P ( 0,25 ≤ X ≤ 1 ).
On a :
P ( 0,25 ≤ X ≤ 1 ) = ∫0,251 f(t) dt = [ (1 / 2 ) t2 + ( 1 /2 ) t ]0,25 1
c-à-d
P ( 0,25 ≤ X ≤ 1 ) = (1 / 2 ) + ( 1 /2 ) - ( (1 / 2 ) × 0,252 + ( 1 /2 )× 0,25 )
c-à-d
P ( 0,25 ≤ X ≤ 1 ) = 1 - ( (1 / 32) + (1 / 8 ) ) = 1 - (5 / 32) = 27 / 32
Conclusion : P ( 0,25 ≤ X ≤ 1 ) = 27 / 32
P ( 0,25 ≤ X ≤ 1 ) ≈ 0,8438
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EXERCICE 2
Soit X une variable aléatoire continue sur [ 0 ; 3] de
loi de probabilité uniforme.
1. Donner sa fonction densité de probabilité.
2. Donner son espérance.
3. Donner les probabilités P( 1 < X ) et P( 0,5 < X < 2).
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REPONSE:
1. D'après le cours comme X est continue de loi uniforme sur [ 0 ; 3 ]
f : t → 1 / ( 3 - 0 )
Conclusion : Sa fonction densité de probabilité
est: f : t → 1 / 3 sur [ 0 ; 3 ]
2. D'après le cours on a :
E( X ) = ( 0 + 3 ) / 2 = 1 ,5
Conclusion : E( X ) = 1 , 5
3. Calculons P( 1 < X ) et P( 0,5 < X < 2).
• On a : P( 1 < X )= P(1 < X < 3) = ( 3 - 1 ) / ( 3 - 0 ) = 2 / 3
Conclusion: P( 1 < X ) = 2 / 3
• On a :