INFO EX3 DV n°7 TS1 12 /01/13

       INFO EXERCICE      n° 3         DV n ° 7        12 Janvier 2013        TS1

           EXERCICE 3

          1.Soit la fonction numérique définie sur IR par:

                            defdef-1.png

                           k13.png

                 Regardons si cette fonction

                 f.png   est continue en 0.

                  Pour cela regardons si l'on a:

               •    f.png   est définie en 0.   OUI  car

                                        f-0.png

               •   limfen0-1.png     

            On a :       

            continuite-en-0-de-f-1.png

    Donc  :

                            limfen0-1.png

           ( Il est inutile de regarder la limite en 0 à droite puis à gauche

                       car il y a une valeur absolue )

                     

      Conclusion: Oui . 

              f.png  est bien continue en 0. 

        2. Regardons si la fonction numérique définie sur IR par:                         

                 fonctiong.png

             est dérivable en 0.

                      sans-titrek14-1.png

              ATTENTION:    Il ne s'agit pas de voir si elle est continue en 0

              Il s'agit de voir si l'on a:             

             derivabilite.png

         (  C'est un taux qu'il faut considérer.   Pas la limite en o de la fonction )

              Soit x un réel non nul.

              On a :

                  taux.png

             Or  

                  nomb.png

             ( Rappel:     Exp'( 0 ) = Exp( 0 ) = 1  )

       Ainsi :

       nombrederive.png

                 Conclusion:  la fonction g  est bien dérivable en 0   et  g '( 0 ) = 1.

                    La tangente au point d'abscisse 0 est de coefficient directeur 1.

                        ( voir le graphique )

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