INFO DS 7 1S1 14 Mars 08

    Devoir surveillé n ° 7              55 mn               Samedi 14 mars 2009           1S1

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   EXERCICE 1

                Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .

                Soit la fonction f : x→ ( - 2 x² + 5 x + 4 ) / ( 2 x + 1 )   sur l'intervalle ] -1 / 2 , + ∞[ .

                 ( La courbe ( C ) de la fonction f n'est pas demandée. )

             1. Trouver les limites de f en +  ∞ et  en  - 1 / 2 à droite.

                 • La fonction rationnelle f a - 2 x comme quotient simplifié de ses termes de plus haut degré.

                   lim - 2x = - ∞

                   x → + ∞

                    Donc  

                   Conclusion:               lim f( x )  =  - ∞  

                                                    x → + ∞

               •  En -  1/ 2 à droite on a : 

                                 lim ( - 2 x² + 5 x + 4 ) = - ( - 1 / 2 ) ²  - 5 / 2 + 4   = -  1 / 2 - 5 / 2 + 4 = 1   

                                x    → - 1 / 2      

                              et       lim ( 2 x + 1 ) = 0+

                                        x    → - 1 / 2   

                      Ainsi      lim ( - 2 x² + 5 x + 4 ) / ( 2 x + 1 )  = 1 / 0  = +  ∞

                                    x    → - 1 / 2   

                  Conclusion :   lim f ( x) = + ∞ 

                                        x → - 1 / 2   

                  La courbe ( C ) admet-elle une asymptote verticale ?

                    OUI .  

                   Comme   lim f ( x) = + ∞     

 

                                 x → - 1 / 2    

                     la droite d' équation x = - 1 / 2 est une asymptote 

                    verticale pour ( C ).

 

             2. Trouver les réels a , b, c tels que :

                  f( x ) =a x + b  +  c / ( 2 x + 1 )         pour tout x dans l'intervalle  ] -1 / 2 , + ∞[ .

 

                Utilisons la division.    

- 2 x² + 5 x + 4 | 2 x + 1
- ( - 2 x²  - x ) |  - x + 3
            6 x + 4 |
       - ( 6 x  + 3 ) |
                    1

 Ainsi :   - 2 x² + 5 x + 4 = ( 2 x + 1 ) ( - x + 3 ) + 1

     Donc  pour tout x > - 1 / 2  on a:

           ( - 2 x² + 5 x + 4 ) / ( 2 x + 1 ) = - x + 3 +  1 / ( 2 x + 1 )

       Conclusion : a = - 1      b = 3        c = 1

 

  

             3. Montrer que la droite D : y = - x + 3 est une asymptote à  la courbe ( C ) en  + ∞. 

                   On a   f( x ) =- ( - x + 3  ) = 1 / ( 2 x + 1 )  pour tout x > - 1 / 2 .

                     et   lim 1 / ( 2 x + 1 )  = 0

                           x → + ∞

                      Donc :

             Conclusion :  La droite D:  y = - x + 3 est bien une asymptote oblique  à ( C ) en  + ∞.

 

            4. a . Montrer que sur l'intervalle ] -1 / 2 , + ∞[  la fonction dérivée de f est

                       f ' : x → - 1 -   2 / ( 2 x + 1 )²  

                      Soit les fonctions u : x→ - x + 3       et   v : x → 2 x + 1

                      On a :     f = u + 1 / v           sur l'intervalle  ] - 1 / 2 , + ∞ [

                      Comme u et v sont définies et dérivables dans l'intervalle ] - 1 / 2 , + ∞ [

                       et que v  y est non nulle , la fonction  u + 1 / v    c'est-à-dire f est définie et dérivable

                        dans l'intervalle  ] - 1 / 2 , + ∞ [.

                           de plus on a : f ' = u'  - v ' /  v²

                             v ' : x  →  2

                            Soit x > - 1 / 2     on a :   f' ( x ) = - 1 - 2 / ( 2 x + 1 )²

                   Conclusion:  On a bien la fonction dérivée de f qui est

                                         f ' : x → - 1 - 2 / ( 2 x + 1 )² 

                 b. Donner le signe de f ' .

                          Pour tout x > - 1 / 2

                           f ' ( x ) étant la somme de deux réels  strictement négatifs on a 

                           f ' < 0  sur  ] - 1 / 2 , + ∞ [

                         Conclusion :  f ' < 0  sur  ] - 1 / 2 , + ∞ [ 

             5. a.  Déterminer le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle ] -1 / 2 , + ∞[ .

                               f est strictement décroissante sur l'intervalle ] - 1 / 2 , + ∞ [ . 

                 b.  Préciser son tableau de variations.                        

x - 1 / 2                                                                                             +  ∞
f ' ( x )  ||                                                      -
f ( x )-  ||                                                        ↓

 

                  c.   La courbe ( C ) de  la fonction f admet -elle ,en un point, une tangente horizontale?  

                          NON car f ' ne s'annule jamais sur l'intervalle ] -1 / 2 , + ∞[ . 

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            EXERCICE 2 

                1. Résoudre dans IR l'équation:   cos x = 1 / 2.

                 •   On sait que :  cos π/ 3 = 1 / 2

                    Donc    cos x = 1 / 2     s'écrit     cos x = cos π/ 3

                    c-à-d    x = π/ 3   [ 2 π ]    ou     x = -  π/ 3   [ 2 π ]

            Conclusion :   S = {  π/ 3  + 2 k  π     /     k   dans les entiers relatif } U  { -  π/ 3  + 2 k  π     /     k   dans les entiers relatif }                

 

                    En déduire la résolution de l'équation :  cos 2x = 1 / 2.

                     On d'après ce qui précède  cos 2x = 1 / 2  qui se traduit par :

                          2 x = π/ 3   [ 2 π ]    ou     2 x = -  π/ 3   [ 2 π ]

                      c-à-d     x = π/ 6   [  π ]    ou     x = -  π/ 6   [ π ]

                      Conclusion: S = {  π/ 6  + k  π     /     k   dans les entiers relatif } U  { -  π/ 6 + k  π     /     k   dans les entiers relatif }

                 2. Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).

 

                   a. Donner les coordonnées cartésiennes du point A de cordonnées polaires [ 2 , 2 π/ 3  ]

 

                       avec l'axe polaire ( O ; vect (  i ) ).

                            On a :

                            xA = 2 cos ( 2 π/ 3 ) = 2 ( - 1 / 2 ) = - 1

                            yA = 2 sin ( 2 π/ 3  ) = 2 ( √3 )/ 2 = √3

                         Conclusion :   A ( - 1 ; √3 )   dans le repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).

                       Représenter le point A.

                   b. Soit le point B de coordonnées cartésiènes ( - 3 ; - 3 ).

                       Donner des coordonnées  polaires du point B , en considérant ( O ; vect( i ) ) comme

                       repère pôlaire .

                       On a :    r = √(  ( - 3 ) ² + ( - 3 ) ²  ) = √ 18 = 3 √ 2

                        cos a = - 3 / (  3 √ 2 ) = - 1 / √ 2

                         sin a = - 3 / (  3 √ 2 ) = - 1 / √ 2

                          Donc a = - 3 π / 4  convient .

                       Conclusion :    On a :    B[   3 √ 2 , - 3 π/ 4 ]

                3. a. Simplifier les écritures suivantes:   π - π/ 10   ;    π -  2 π /  5     ; π / 2  - π/ 10   . 

 

                             π - π/ 10   = 9 π/ 10  

                              π -  2 π /  5  = 3 π /  5 

                               π / 2  - π/ 10   =  2 π /  5

 

                    b. Calculer  l'expression :  A =  cos  ( π/ 10 )  + cos ( 2π/ 5 ) + cos ( 3 π/ 5 )+  cos ( 9 π / 10 )

 

             On a :    A = cos ( π/ 10 ) + cos ( π / 2  - π/ 10  ) + cos ( π -  2 π /  5  ) + cos ( π - π/ 10  )

            c-à-d      A = cos ( π/ 10 ) + sin ( π/ 10 ) - cos ( 2 π /  5  ) - cos  ( π/ 10 ) 

           c-à-d              A = sin ( π/ 10 ) - cos ( 2 π /  5  ) =  sin ( π/ 10 ) - cos (  π / 2  - π/ 10 )  

            c-à-d               A = sin ( π/ 10 ) - sin ( π/ 10 ) = 0

                           Conclusion :   A = 0

 

                4.  On a  sin a = 3 / 5   et  a dans l' intervalle [ 0 , π / 2 ].

                               Trouver  cos a . 

                             On a cos a >= 0  car a  est dans l' intervalle [ 0 , π / 2 ].

                             cos² a = 1 - sin² a

                              c-à-d   cos² a  = 1 - ( 3 / 5 ) ² = 16 / 25

                                          Conclusion:    cos a = 4 / 5

 

                5. Donner la mesure principale de l'angle orienté dont une mesure , en radians , est

                       33 π / 5 .

                 On a :      33 π / 5  = 30 π / 5 + 3 π / 5 

                 c-à-d               33 π / 5  = 3 × 2 π +  3 π / 5 

                 c-à-d               33 π / 5  = 3 π / 5  [ 2 π]

                                     3 π / 5  est dans l'intervalle ] - π , π ]

                   Conclusion :  3 π / 5  est la mesure principale de l'angle orienté

                                           dont une mesure est 33 π / 5 .

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