COURS PRIMITIVES

                                          COURS  PRIMITIVES                    TS       Avril 2012   

            Pour les exercices  voir la feuille d'exercices.

         1. Primitive.

             Soit une fonction f définie dans un intervalle I.

             Toute fonction définie et dérivable dans I dont la

             fonction dérivée est f est une primitive de f. 

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           2. Critère d'existence de primitives ( Admis )

              Tout fonction définie et continue dans un intervalle I y admet 

              au moins une primitive.

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          3. Proposition.

             Soit f une fonction définie dans un intervalle I.

             Soit F une primitive de f dans I.

            Alors toutes les fonctions de la forme F + C où C est un réel

           quelconque sont aussi des primitives de f dans I.

           ( Evident: il suffit de dériver F + C )

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         4. Proposition.

             Soit une fonction f qui admet des primitives sur l'intervalle I.

            Soit F et G deux primitives d'une même fonction f sur I.

            Alors il existe un réel C tel que G - F = C    sur I.

           Explication ( ROC  possible )

              F et G sont deux fonctions définies et dérivables sur I.

              Donc G- F est aussi une fonction définie et dérivable sur I.

              On a :  F ' = f et G ' = f

            Ainsi ( G - F ) ' = f ' - f ' =0   sur I 

           La fonction G -  F est donc constante sur I.

           Ainsi

            Conclusion :

                Il existe un réel C tel que  G - F = C   sur I .

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    5 .  Proposition:

            Soit f une fonction définie sur l'intervalle I qui admet F

            comme primitive.

           L'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble

            des fonctions    F + C     où C décrit IR.

         Explication:

                Avec l' hypothèse :  f est une fonction définie sur l'intervalle I et admet F

                 comme primitive.        

                   •   F + C  où C est dans IR est aussi une primitive de f.  

                      ( Déjà vu. Il suffit de dériver F + C  )

                   •   Toute autre primitive G est telle qu'il existe C dans IR 

                        de façon  que  G - F = C    sur I

                                       c-à-d     G = F + C    sur I

             Conclusion : Les primitives de f sur I sont les fonctions 

                                de la forme F + C où C décrit IR

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    6.   Proposition.

              Soit u une fonction définie et dérivable dans l'intervalle I.

              Soit n un entier naturel tel que  n ≥ 1.

             Une primitive de la fonction   u '  un     sur I   est :

                                                    [ 1 / ( n + 1 ) ] un + 1   

             ( Il suffit de dériver pour l'établir )

           Cas particulier:    

                  Une primitive sur I de  u ' u  avec les mêmes hypothèses 

                   est  (1 / 2 )  u2

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     7.  Proposition.

              Soit u une fonction définie  dérivableet NON NULLE dans l'intervalle I.

               Soit n un entier naturel tel que  n ≥ 2.

               Une primitive de la fonction   u ' / un     sur I   est :

                   [  - 1 / ( n - 1 ) ]  ( 1 /  un - 1  )

            ( Il suffit de dériver pour s'en rendre compte )

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      8. Proposition.

                Soit u une fonction définie , dérivable et strictement positive

                sur l'intervalle I.

                Alors une primitive de la fonction u ' / u est :

                         ln o u   

               ( Il suffit de dériver pour l'établir )

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     9. Proposition.            

                  Soit u une fonction définie , dérivable sur l'intervalle I.

                  Alors une primitive de la fonction   u' eu  est :

                              eu

              ( Il suffit de dériver pour l'établir )

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     10. Proposition.

              Soit u une fonction définie , dérivable et strictement positive

               sur l'intervalle I.

            Alors une primitive de la fonction   u' /√u  est :

                                     2√u

                  ( Il suffit de dériver pour l'établir )

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