INFO EX 2 SUJET COMMUN 1S 2 avril 2010 2 heures
EXERCICE 2
1. Soit la fonction f : x → x +( 3 / x ) - ( 1 / x² ) définie sur IR• .
Déterminer la fonction dérivée f ' de f.
f est la somme de trois fonctions définies et dérivables sur R*.
Donc la fonction f est définie et dérivable dans IR*.
La fonction dérivée de x → x est x → 1 .
La fonction dérivée de x → 1 / x est x → - 1 / x² .
La fonction dérivée de x → 1 / x² est x → - 2 / x3 .
( On peut utiliser la formule ( 1 / v ) ' = - v ' / v² avec v : x → x² et v ' : x → 2 x )
Ainsi :
Conclusion: f ' : x → 1 - ( 3 / x² ) + ( 2 / x3 ) sur IR*.
2. Soit la fonction g: x → x3 - 3x + 2 définie sur IR.
a. Montrer que l'équation g( x ) = 0 admet une racine évidente.
1 - 3 + 2 = 0
La somme des coefficient du polynôme g( x ) étant nulle on peut dire:
Conclusion: 1 est une racine évidente de g(x ) = 0
b. Déterminer trois réels a , b, c tels que :
g( x ) = ( x - 1 )( a x2 + b x + c ) pour tout réel x.
On peut procéder par division:
On obtient: g( x ) = ( x - 1 ) ( x² + x - 2 )
Conclusion: a = 1 b = 1 c = - 2
c. Donner le signe de g( x ) suivant x.
On a : g( x ) = ( x - 1 )² ( x + 2 )
g( x ) = 0 ssi x = 1 ou x = - 2
g( x ) est toujours du signe de x + 2.
Conclusion:
x
- ∞ - 2 1 + ∞
g( x )
- 0 + 0 +
d. Montrer que f '( x ) est du signe de g( x ) / x pour tout x dans IR• .
Soit x dans IR*.
On a: f '( x ) = 1 - ( 3 / x² ) + ( 2 / x3 )
Donc: f '( x ) = ( x3 - 3 x + 2 ) / x3
c-à-d f ' ( x ) = g( x ) / x3 = ( 1 / x² ) ( g( x ) / x )
Conclusion: f ' ( x ) est du signe de g( x ) / x pour tout x dans IR*
e. Donner le tableau de variation de la fonction f.
+ 0 - || + 0 +
x
- ∞ - 2 0 1 + ∞
g( x )
- 0 + 0 +
g( x ) / x
On peut dresser le tableau de variationde f.
x
- ∞ - 2 0 1 + ∞
f ' ( x )
+ 0 - || + 0 +
f( x )
↑ ↓ || ↑
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