INFO 1 DEVOIR MAISON DU 11 mai 2012 TS2
EXERCICE
Soit la fonction f : x→ ex + e- x .
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i , vect( j ) ).
Unité graphique: 1 cm.
Soit ( C ) la courbe de la fonction f sur l'intervalle [ - 1 ; 1 ].
( Il est exact que ch : x →( ex + e- x ) / 2 et qu'ainsi f = 2 ch .
Mais la fonction ch n'est plus au programme de TS depuis plus de 30 ans. )
1. Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative sur
l'intervalle [ -1; 1].
2. Calculer l'aire du domaine D , ensemble des points M(x , y ) tels que :
- 1 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ f( x )
3. Quelle est la largeur d'un rectangle de longueur 2 dont l'aire est égale
à celle du domainre D .
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Réponse :
1. On remarque de suite que la fonction f est paire.
En effet :
• Elle est définie dans IR qui symétrique par rapport à 0.
• Soit x quelconque dans IR.
f( - x ) = e- x + e-( - x ) = e- x + e x =ex + e- x =f( x )
c-à-d
f( - x ) = f(x ) pour tout x dans IR.
f est bien paire.
En conséquence pour ses variations on peut se limiter
aux réels positifs de son domaine de définition.
Etude sur IR+ .
On a : f = eu + ev
avec les fonctions affines u: x→x et v : x → - x .
Mais u et v sont définies et dérivables dans IR+
et u' : x→1 et v' : x → - 1 ,
Les fonctions x→ eu et x→e v étant aussi dérivables dans IR+ ,
f l'est également.
On a: f ' = u ' eu + v ' e v
c-à-d f ' : x → ex - e- x
Soit 0 ≤ x
Alors - x