GEOM. ESPACE 1S MAI 09

     GEOMETRIE DANS L'ESPACE                   1S                    MAI 09

       1.REMARQUE:

        • Les règles de la géométrie plane s'appliquent dans les plans de l'espace.

        • Les plans de l'espace sont représentés, en perspective cavalière, par des parallèlogrammes.

        2. REPERE ORTHONORMAL DE L'ESPACE.

           Il est constitué d'un point O , l'origine et d'une base constituée de trois vecteurs

           vect( i ) , vect( j ) , vect( k )  deux à deux orthogonaux et normés.

             Il s'écrit :         ( O ; vect( i ) , vect( j ) , vect( k ) ).

                    

           Pour tout point M de l'espace il existe trois réels ( uniques ) tels que:

           vect( OM) = x vect( i ) + y vect( j ) + z vect(k )

         On dit que  x , y , z sont les coordonnées du point M.

          x est son abscisse.

          y est son ordonnée.

          z est sa cote.

         Pour placer le point M ( x , y ,z )

           Soit le point m ( x , y , 0 ) du plan ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).

           On place le point m en construisant un parallèlogramme .

             vect( Om ) = x vect( i ) + y vect( j )

            On place alors le point M en construisant un autre

            parallèlogramme.  vect OM )= vect( Om ) + z vect( k ).

          

        3. EXEMPLE.  

             Placer les points A(  1 , 5 , 1 ) et B ( 2 , 3 , 1 )   dans le repère orthonormal

                 ( O ; vect( i ) , vect( j ) , vect( k ) ).

                   

                 

      4. DISTANCE OM:

           Soit le point  M ( x , y , z ) dans le repère otyhonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) , vect( k ) )..

           Alors   OM =√( x² + y² +z² ).

           Explication.

                Soit le point m ( x , y , 0 ).

                Le triangle OmM est rectangle en m.

               Ainsi d'après Pythagore   

                  om² + mM² = OM ²

                  Mais dans le plan de repère othonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) )

                    om² = x² + y²  

                    vect( mM ) = z vect( k )

                      Ainsi    mM² = z²

                     Donc    om² + mM² = OM ²   se traduit par :     x² + y²   + z²    =  OM ²

                    D'où        OM =√( x² + y² +z² )  comme une distance est positive. 

               Pour un vecterur vect( u )  de coordonnées ( x , y , z )

                on a :         || vect ( u ) ||  =√( x² + y² +z² )

                Il suffit de considérer  un point M tel que   vect ( u ) = vect( OM ) 

       5. DISTANCE  AB.

           Soit deux points A (  xA  , y A, zA  )    et   B (  xB  , y B   ,  z ) .

           On a   AB = √ (  ( xA  - xB )²  + ( yA - yB )² + ( zA - zB )²   ) 

            Explication :    les coordonnées du vecteur  vec( AB )   sont  :      xA -   xB   ,    y A   -    y B   ,   z-  zB 

      6. MILIEU D'UN SEGMENT [ AB] .

           Soit deux points A (  xA  , y A, zA  )    et   B (  xB  , y B   ,  z )  distincts.

         Le milieu I du segment [AB] est de coordonnées:

            x I     =    ( xA  + xB ) / 2

             y I   =   ( yA +  yB ) / 2

                 z    =    ( zA + zB ) / 2  

         7. EQUATIONS DES PLANS DE REFERENCE.

           Il y a trois plans de référence.

               • Le plan " horizontal"   de repère orthonormal ( O ; vect ( i ) , vect( j ) ).

                  Tous ses points sont de cote nulle.

                    Il est d'équation z = 0 .

                                                                                     

                   Le plan de repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( k ) ).

                     C'est un plan vertical de référence.

                     Tous ses points ont une ordonnée nulle.

                      Il est d'équation  y = 0.

                        

          Le plan de repère orthonormal ( O ; vect( j ) , vect( k )  )

                   C'est un plan vertical de référence.

                   Tous ses points ont une abscisse égale à 0.

                    Son équation est x = 0

                                      

           8. PROPOSITION.

                   • Tout plan parallèle au plan de repère orthonormal ( O ; vect ( i ) , vect( j ) )

                     admet une équation de la forme z =  α   où  α est un réel.

                              

                    • Tout plan parallèle  au plan de repère orthonormal ( O ; vect ( i ) , vect( k ) )

                    admet une équation de la forme y =  α   où  α est un réel.

                               

                   • Tout plan parallèle   au plan de repère orthonormal ( O ; vect ( j ) , vect( k ) )

                    admet une équation de la forme x =  α   où  α est un réel.

                         

      9. PRODUIT SCALAIRE.

                   Soit les vecteurs vect( u ) et vect( v ) .

                   Soit ( x , y , z ) et ( x' , y' , z'  ) leurs coordonnées respectives.

                   Le produit scalaire du vect( u ) par le vect( v ) est le réel:

                    vect( u ) . vect( v ) = x x' + y y' + z z'

         10. PROPOSITION.

                        Soit les vecteurs vect( u ) et vect( v ) .

                      Soit ( x , y , z ) et ( x' , y' , z'  ) leurs coordonnées respectives.

                       Les vecteurs vect( u ) et vect( v ) sont orthogonaux si et seulement si

                           x x' + y y' + z z' = 0

                    Explication.

              Soit les points M et N tels que  vect(u ) = vect( OM ) et  vect( v ) = vect( ON )

              Le vecteur ( MN ) a pour coordonnées ( x' - x ) ; ( y' - y ) ; ( z' - z ).

              On a :   

     MN² = ( x' - x )² + ( y' - y )²  + ( z' - z )² = x² + y² + z² + x' ² + y' ² + z' ² - 2 ( x x' + y y' + z z' )

      OM² = x² + y² + z²

      ON²    = x' ² + y' ² + z' ²     

      MN²   =   OM² + ON²       s'écrit  - 2 ( x x' + y y' + z z' ) = 0

c-à-d       MN²   =   OM² + ON²        ssi     x x' + y y' + z z'  =  0

          Ainsi:

         • Cas.  OM ≠ 0  et ON ≠ 0 . 

             D'après le Th. de Pythagore , le triangle OMN est rectangle en O  ssi     x x' + y y' + z z'  =  0  

        • Cas.  OM = 0 ou ON = 0   c-à-d   x²  + y² + z²  =  0   ou  x' ² + y' ² + z' ² = 0

                      c-à-d           x = y = z = 0    ou x' = y' = z' = 0

               On a      x x' + y y' + z z'  =  0  

              On a : Les vecteurs  vect( OM )  et  vect( ON ) sont bien orthogonaux car l'un d'eux, au moins, est nul. 

            11. EQUATION D' UNE SPHERE.

                       Soit R > 0.

                     La sphère S de centre I( a , b , c ) et de rayon R a pour équation :

                        ( x - a )² + ( y - b )² + ( z - c )² = R²  

                                          

                                              ( Figure pour  R = 1 et I( 3; 2; 1 )  )

            Explication.

           Un point M de l'espace est sur la sphère S ( I ( a ; b ; c ) ; R ) si et seulement si

            IM = R    c-à-d ssi   IM² = R² .

           Comme les coordonnées du vect( IM ) sont  (  x - a ,  y - b ,  z - c )

            on a  IM² = (  x - a )² + (  y - b )² + (  z - c )²

           Ainsi :   IM² = R²  s'écrit     (  x - a )² + (  y - b )² + (  z - c )² = R² .

     12. EQUATION D' UN CYLINDRE DE REVOLUTION

           D'AXE ( O ; vect ( k ) )  ET DE RAYON R.

            Soit R > 0.

             Le cylindre de révolution de rayon R et d'axe ( O ; vect( k ) )

             a pour équation :   x² + y²  = R²

              

    13. EQUATION D' UN CÖNE DE REVOLUTION D'ANGLE AIGU  Θ  D'AXE  ( O ;  vect( k ) ) .

                  x² + y² = z² tan² Θ

                 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------