GEOM. ESPACE 1S MAI 09

GEOMETRIE DANS L'ESPACE 1S MAI 09

1.REMARQUE:

• Les règles de la géométrie plane s'appliquent dans les plans de l'espace.

• Les plans de l'espace sont représentés, en perspective cavalière, par des parallèlogrammes.

2. REPERE ORTHONORMAL DE L'ESPACE.

Il est constitué d'un point O , l'origine et d'une base constituée de trois vecteurs

vect( i ) , vect( j ) , vect( k ) deux à deux orthogonaux et normés.

Il s'écrit : ( O ; vect( i ) , vect( j ) , vect( k ) ).

Pour tout point M de l'espace il existe trois réels ( uniques ) tels que:

vect( OM) = x vect( i ) + y vect( j ) + z vect(k )

On dit que x , y , z sont les coordonnées du point M.

x est son abscisse.

y est son ordonnée.

z est sa cote.

Pour placer le point M ( x , y ,z )

Soit le point m ( x , y , 0 ) du plan ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).

On place le point m en construisant un parallèlogramme .

vect( Om ) = x vect( i ) + y vect( j )

On place alors le point M en construisant un autre

parallèlogramme. vect OM )= vect( Om ) + z vect( k ).

3. EXEMPLE.

Placer les points A( 1 , 5 , 1 ) et B ( 2 , 3 , 1 ) dans le repère orthonormal

( O ; vect( i ) , vect( j ) , vect( k ) ).

Point A ( 1 ; 5 ; 1 )

Point A(1 ; 5 ; 1 ) et B( 2 ;3 ;1 )

4. DISTANCE OM:

Soit le point M ( x , y , z ) dans le repère otyhonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) , vect( k ) )..

Alors OM =√( x² + y² +z² ).

Explication.

Soit le point m ( x , y , 0 ).

Le triangle OmM est rectangle en m.

Ainsi d'après Pythagore

om² + mM² = OM ²

Mais dans le plan de repère othonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) )

om² = x² + y²

vect( mM ) = z vect( k )

Ainsi mM² = z²

Donc om² + mM² = OM ² se traduit par : x² + y² + z² = OM ²

D'où OM =√( x² + y² +z² ) comme une distance est positive.

Pour un vecterur vect( u ) de coordonnées ( x , y , z )

on a : || vect ( u ) || =√( x² + y² +z² )

Il suffit de considérer un point M tel que vect ( u ) = vect( OM )

5. DISTANCE AB.

Soit deux points A ( x_A , y _A, z_A ) et B ( x_B , y _B, z_B ) .

On a AB = √ ( ( x_A - x_B )² + ( y_A - y_B )² + ( z_A - z_B )² )

Explication : les coordonnées du vecteur vec( AB ) sont : x_A - x_B , y _A - y _B, z_A-z_B

6. MILIEU D'UN SEGMENT [ AB] .

Soit deux points A ( x_A , y _A, z_A ) et B ( x_B , y _B, z_B ) distincts.

Le milieu I du segment [AB] est de coordonnées:

x _I = ( x_A + x_B ) / 2

y _I = ( y_A + y_B ) / 2

z_I = ( z_A + z_B ) / 2

7. EQUATIONS DES PLANS DE REFERENCE.

Il y a trois plans de référence.

• Le plan " horizontal" de repère orthonormal ( O ; vect ( i ) , vect( j ) ).

Tous ses points sont de cote nulle.

Il est d'équation z = 0 .

• Le plan de repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( k ) ).

C'est un plan vertical de référence.

Tous ses points ont une ordonnée nulle.

Il est d'équation y = 0.

• Le plan de repère orthonormal ( O ; vect( j ) , vect( k ) )

C'est un plan vertical de référence.

Tous ses points ont une abscisse égale à 0.

Son équation est x = 0

8. PROPOSITION.

• Tout plan parallèle au plan de repère orthonormal ( O ; vect ( i ) , vect( j ) )

admet une équation de la forme z = α où α est un réel.

• Tout plan parallèle au plan de repère orthonormal ( O ; vect ( i ) , vect( k ) )

admet une équation de la forme y = α où α est un réel.

• Tout plan parallèle au plan de repère orthonormal ( O ; vect ( j ) , vect( k ) )

admet une équation de la forme x = α où α est un réel.

Plan parallèle au plan ( O ; vect( j ) , vect( k ) )

9. PRODUIT SCALAIRE.

Soit les vecteurs vect( u ) et vect( v ) .

Soit ( x , y , z ) et ( x' , y' , z' ) leurs coordonnées respectives.

Le produit scalaire du vect( u ) par le vect( v ) est le réel:

vect( u ) . vect( v ) = x x' + y y' + z z'

10. PROPOSITION.

Soit les vecteurs vect( u ) et vect( v ) .

Soit ( x , y , z ) et ( x' , y' , z' ) leurs coordonnées respectives.

Les vecteurs vect( u ) et vect( v ) sont orthogonaux si et seulement si

x x' + y y' + z z' = 0

Explication.

Soit les points M et N tels que vect(u ) = vect( OM ) et vect( v ) = vect( ON )

Le vecteur ( MN ) a pour coordonnées ( x' - x ) ; ( y' - y ) ; ( z' - z ).

On a :

MN² = ( x' - x )² + ( y' - y )² + ( z' - z )² = x² + y² + z² + x' ² + y' ² + z' ² - 2 ( x x' + y y' + z z' )

OM² = x² + y² + z²

ON² = x' ² + y' ² + z' ²

MN² = OM² + ON² s'écrit - 2 ( x x' + y y' + z z' ) = 0

c-à-d MN² = OM² + ON² ssi x x' + y y' + z z' = 0

Ainsi:

• Cas. OM ≠ 0 et ON ≠ 0 .

D'après le Th. de Pythagore , le triangle OMN est rectangle en O ssi x x' + y y' + z z' = 0

• Cas. OM = 0 ou ON = 0 c-à-d x² + y² + z² = 0 ou x' ² + y' ² + z' ² = 0

c-à-d x = y = z = 0 ou x' = y' = z' = 0

On a x x' + y y' + z z' = 0

On a : Les vecteurs vect( OM ) et vect( ON ) sont bien orthogonaux car l'un d'eux, au moins, est nul.

11. EQUATION D' UNE SPHERE.

Soit R > 0.

La sphère S de centre I( a , b , c ) et de rayon R a pour équation :

( x - a )² + ( y - b )² + ( z - c )² = R²

( Figure pour R = 1 et I( 3; 2; 1 ) )

Explication.

Un point M de l'espace est sur la sphère S ( I ( a ; b ; c ) ; R ) si et seulement si

IM = R c-à-d ssi IM² = R² .

Comme les coordonnées du vect( IM ) sont ( x - a , y - b , z - c )

on a IM² = ( x - a )² + ( y - b )² + ( z - c )²

Ainsi : IM² = R² s'écrit ( x - a )² + ( y - b )² + ( z - c )² = R² .

12. EQUATION D' UN CYLINDRE DE REVOLUTION

D'AXE ( O ; vect ( k ) ) ET DE RAYON R.

Soit R > 0.

Le cylindre de révolution de rayon R et d'axe ( O ; vect( k ) )

a pour équation : x² + y² = R²

13. EQUATION D' UN CÖNE DE REVOLUTION D'ANGLE AIGU Θ D'AXE ( O ; vect( k ) ) .

x² + y² = z² tan² Θ

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