SUJET 51 mai 2017

                E22           BTS SIO           sujet    mai 2017

         PREMIER TRAVAIL sur papier 30 mn

               Voici un extrait d'algorithme :

Variables :           M , n , k entiers

Initialisation :      k=2

Traitement :

                      Affecter à n un entier supérieur à 2

                      Affecter à M la valeur 2^n – 1    ( appelé nombre de Mersenne )

Tant que

                  M n'est pas divisible par k et k inférieur ou égal à la racine carrée de M

                  Affecter à k la valeur k + 1

Fin Tant que

Sortie :        Afficher k

                    Si k est strictement supérieur à la racine carrée de M

                         Afficher M "est un nombre premier "

                   Sinon

                        Afficher M " n'est pas un nombre premier "

                       Afficher k "est un diviseur de "  M

                       Afficher M = k int (M / k )

Fin Si

            QUESTIONS :

          1- Qu'affiche cet algorithme pour n = 33 ?

          2- Calculer la somme:

              Somme de puissances

                En déduire que 7 divise  2^33 − 1 .

           Information:    Soit ( un ) une suite géométrique de raison

                                   q autre que 1   définie sur IN.

                         Alors :   u0 + u1 + ... +n =  u0 ( 1 − qn + 1   ) / ( 1 − q )

                                 pour tout entier naturel n.

          3- Le nombre de Mersenne  2^33  − 1 est -il premier ?

          4. a. A-t-on ?

                 Congruence particuliere

              b. Soit p un entier naturel,  que peut-on dire de 4^( 2p) ?

              c. Que peut-on en déduire pour 4^( 2p) – 1 ?

                   Quand l'entier naturel n est pair que peut-on dire du nombre de Mersenne 2^n – 1 ?

          5. Modifier l'algorithme de façon qu'il affiche la liste L des nombres de Mersenne

             2^n – 1 pour n variant de 3 à 10.

            SECOND TRAVAIL sur ordinateur 30 mn

     1- Écrire un algorithme, si possible en Python 2.7 , qui saisit trois listes L,G,H,

         chacune de 3 entiers naturels, puis affiche verticalement une matrice M dont

         les lignes sont L,G,H et affiche enfin une liste dont les termes sont les moyennes

         de chaque liste saisie.

     2- Tester l'algorithme avec les listes: L= [ 15,11,13] , G = [ 18,10,11], H = [ 12,15,12]

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