INFO TEST COURS SUITES TS

      NOM :  ...........X.............. Prénom: .......X..........       Classe: TS1 ....        Date:  sept . 2013

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   • Soit n dans IN et α > 0. Quelle inégalité dite de Bernoulli peut-on écrire ?

                                   ( 1 + α )n  ≥ 1 + n α 

   • Soit la suite ( un ) définie sur IN. Comment se traduit le fait qu'elle soit croissante?

                                    un + 1 - u ≥ 0    pour tout n dans IN

   • Soit la suite récurrente ( u )  définie sur IN par :      u0 = a    où a est un réel fixé

                                                                                      un + 1 =  f(  un  )   pour tout n dans IN

                                                                                   ( f étant une fonction numérique )

     On admet qu'elle est aussi définie par:    un = g( n )  pour tout n dans IN

     où g est une fonction numérique définie et monotone sur l' intervalle [ 0 , + ∞ [

     contenant IN.

   • •  Le sens de variation de g permet-il de déterminer aussitôt celui de la suite ( un )?

                OUI   car       g( n + 1 ) - g( n )   pour tout n dans IN conserve le même signe.

  •• Le sens de variation de f  permet-il de déterminer aussitôt celui de la suite ( un ) ? 

         NON car  f peut être croissante ou  décroissante sur son intervalle

            de définition alors que la suite ( u) est décroissante ou croissante.

              ( le changement de la valeur du premier terme peut suffire pour à changer

                le sens de variation  de la suite ( u ) . )

                  par exemple:    u0  = 1 

                                         un + 1 = ( 2 un + 1 ) / ( un + 1)  pour tout n dans IN.

                                        définit une suite récurrente croissante sur IN.

                         Mais   u0 = 2 

                                     un + 1  =  ( 2 un + 1 / (  un + 1 )   pour tout n dans IN

                                            définit une suite récurrente décroissante.

                              Dans les deux cas c'est la même fonction f.

           Mais dans une récurrence le sens de variation de f interviendra 

           pour le caractère héréditaire.

   • Soit P( n ) une propriété définie sur IN.

       Que faut-il vérifier pour établir par récurrence que P( n) est vraie 

       pour tout n dans IN?

           * On vérifie que P( 0 ) est vraie.

           * Puis pour tout n dans IN,

           on vérifie que:  si P( n ) est vraie alors P( n + 1 ) est vraie.

    • Que signifie:   La suite ( u ) converge vers le réel L  ?

      Tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite ( u )

                  à partir d'un certain rang.

    • Une suite peut-elle admettre deux limites finies distinctes ?

             NON. En raisonnant par l'absurde on établit l'unicité

               de la limite finie.

   •  Une suite ( un ) à termes positifs est-elle forcément croissante ?

                      NON.

                    Contre exemple:    soit  un =  1 / n  pour tout n dans IN*

                   La suite ( u ) est décroissante et à termes positifs.

   •  Une suite ( u ) croissante diverge -t- elle toujours vers + ∞ ?

                          NON.  

                Contre exemple:      Soit  un = 1 -  1 / n   pour tout n dans IN*

                  La suite ( un ) est croissante sur IN* et elle converge vers le réel 1.

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