INFO DV n°9 TS1 15 mars 2014

                    INFO                       DV n°9            15 mars 2014                 TS1 

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  Enonce ex 1 dv 8 ts

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             Réponse:

          Les intégrales I et J existent car les fonctions

           Fonctions 

           sont définies et continues sur l'intervalle [ 0 , 1].

           • Calcul de I.

                           Question 1 ex 1 dv8 ts 1

            • 

                 Question 2ex 1 dv 8 ts

        • Calcul de J.

-                           On a :  J = 1 - I

                               Or   I =  0,5 ln(3 )

                         Donc  

                     Conclusion :

                                   J = 1 - 0,5 ln(3 )

                             I ≈ 0,549                  J  ≈ 0,451

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             Enonce ex 2 dv 8 ts

                   L'ntégrale  In    existe pour entier naturel n non nul, car la fontion  

                                                    Fctqu

                  est définie et continue sur l'intervalle [ 0 ; 1 ].

                  Ex 2 question 1 dv 8 ts

                              Ex2 fin question 1 dv 8 ts

       2. Montrons que:

                                Question 2 ex 2

                       Soit n entier naturel non nul.

                    •   Soit  x est dans l'intervalle [ 0  , 1 ] .

                       c-à-d       0 ≤ x  ≤ 1

                        Ainsi:  1 ≤ 1 + x  ≤  2

                        On a : 

                         Inegalite934

                      et

                        Ineg987

                        Conclusion:

                     Question 2 ex 2

      3. Déduisons un encadrement de  In   .

             Les fonctions :

       Tf

          sont définies et continues sur  l'intervalle [ 0  ,  1  ].

     Ainsi d'après un résultat de cours:

            Dbling

               4. Regardons si la suite  ( In  ) est convergente.

                         L'encadrement  précédent et le fait que

                             B497

                         montrent d'après le th. des gendarmes que:

                                lim In = 0

                               n  →  +  ∞ 

                         Conclusion : La suite  ( In  )  converge vers 0 .

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          EXERCICE 3

                        Soit l'intégrale:

                                              7391

                                avec n dans IN.

                       La suite (  Jn ) est-elle croissante ?

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            Réponse :

                      L'intégrale existe car la fonction  x → x en x    est définie et continue dans l'intervalle [ 0 ; 1 ]

                        pour tout entier naturel n

                                   Soit n un entier naturel non nul.

                                    Considérons la différence :

               Diff

                   Sig 1

                  Comme la fonction 

                   Expresfct 2

              est définie continue et positive sur l'intervalle [ 0 ; 1 ]

                  Sigint

               Conclusion:   La suite ( Jn ) est bien croissante sur IN*.

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                    EXERCICE 4

                                     Soit l'intégrale:

                                        Lio

                      1. Montrer que 

                                    Fro

                               pour tout réel x.

                                 ( On peut poser   cos x  = ( ei x  + e- i x ) / 2       et

                                     utiliser     ( a + b )3   =  a2 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3     )

                         2.  Calculer l'intégrale K.

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                Réponse:

              1. Soit x dans IR.

                    On a :

                             cos x  = ( ei x  + e- i x ) / 2

                       Donc :  

                                   Infg 1

                            Mais:           e3 ix  +  e-3ix   =  2 cos( 3 x )

                               et  

                                     e ix  +  e- ix   =  2 cos x 

                                En reportant et en simplifiant par 2  il vient:

                         Conclusion :                             

                                    Fro

                               pour tout réel x.                    

             2. Calcul de K.

                        Comme

                                  Fro

                        une primitive de cos3    est :

                              Primv 1 

                Fr78

                  F ( 0 ) = 0

                 Ainsi :

                                  K = F( π / 4 ) - F( 0 )  =  F(  π / 4 )

            Conclusion:     

                                Resu

                                 K ≈ 0,589

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                   EXERCICE 5

                               Fi789                  Disque

                 La section du plan P , ensemble des points M de cote z , avec la sphère de centre O et

                 de rayon R est un cercle ( C ) de rayon r.

                Son centre est le point H de cote z sur l'axe des cotes.

                 Soit M un point du cercle ( C ).

              1. Donnons S( z ).

                  On a le triangle  O H M qui est rectangle en H.

                        Ainsi d'après le Th. de Pythagore  

                            OM2  = OH2  + HM2

                 c-à-d 

                        HM2  = OM2 - OH2 =  R2 - z2

                     Mais   le cercle ( C ) a pour aire:

                              S(z ) = π r2   

                       avec    r2 =  HM2    

                 Ainsi:

                        Conclusion:       S(z ) = π  (  R2 - z2   )

                     2. Calculons l'intégrale:

                        Vol

                   Volume

                                  Il s'agit du volume de la sphère en unités de volume.

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