DS n°2 8 /11/13 TS1

                              DS n ° 2             TS1       8 novembre 2013                   2 heures     

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    EXERCICE 1

             Le plan est muni d'un repère orthonormal ( direct ):

               repere-orthonormal-avec-u-et-v.gif                

          Soit le polynôme:    

                           P(z) = z3  + 3 z2 + 3 z - 63          où z est un nombre complexe.

           1. Calculer P( 3 ).

           2. Trouver trois nombres réels a , b , c  tels que :

                   P( z ) = ( z - 3 ) ( a z2 + b z + c )    pour tout nombre complexe z.

           3. Résoudre l'équation P ( z ) = 0  dans l'ensemble des nombres complexes. 

           4. Soit les points  A , B , C d'affixes respectives   zA  = 3  ,  zB  = - 3 + 2 i √3    ,   zC   = - 3 - 2 i √3 .

                Placer ces points dans le repère orthonormal du plan.

           5. Déterminer l'ensemble de points M d'affixe z du plan tels que | z + 3 - 2 i √3 | =  | z + 3  + 2 i √3 |  .

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         EXERCICE 2

                   Soit les nombres complexes  non nuls:

                                     z1 = 1 + i √3   et    z2 = 1 + i    .

                   1. Donner la forme algébrique du quotient:

                                     quotient.png

                   2. Donner les formes trigonométriques et exponentielles de   z1   et   z2 .

                       En déduire la forme exponentielle puis trigonométrique de : 

                                                quotient.png                 

                       Montrer qu'en conséquence:

                                          formule-2.png           

                   3. En raison de l'unicité de la forme algébrique établir que :

                                       cossin.png             

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             EXERCICE 3

               Soit les points  A ( 1 + 3 i )  , B ( 3 + i ) et  C( 4 + 2 i ) du plan

                muni d'un repère orthonormal

                  repere-orthonormal-avec-u-et-v.gif

                     1. Etablir que:

                                   formule1.png 

                         Les points A , B et C sont-ils alignés ?

                     2. Donner un argument du nombre complexe non nul :

                                    formule2.png

                     3. Déterminer l'affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

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                           BON COURAGE