INFO DS n° 4 21 /12/13 TS1

                                                    INFO   DS n° 4              21 /12/13      3 h    TS1                                 

             EXERCICE 1   ( Ex.  Bac S     )

                  On considère la suite ( u) définie par :

                                                         U0

                                                          Relation1 de recurrencepour u

            1. a.Calculer u1 et u2 .

                      Calculdeu1etu2   

                 b. Démontrer, par récurrence, que :

                                        Un strict positif

                        Amorce

                            L'inégalité est bien vraie pour

                               N nul

                         N qcq

                               Montrons que si  

                                              Un strict positif1 

                                  alors 

                                               Unplus1 strict positif1

                         On a :

                                            Un strict positif1

                            Donc

                                        Quotient strict positif

                               Or:

                                         Relation de recurrencepour u     

                           D'où:

                                        Unplus1 strict positif1

                               Conclusion: Le résultat est prouvé sur IN.

                    2. On admet que:

                                                Inegalite

                       a. Démontrer que la suite ( un )  est croissante. 

                            Démontrons que    0 ≤  un + 1  -  un      pour tout n dans IN .

                            Il n'est pas nécessaire de faire une récurrence.                       

                             Soit n dans IN  

                              On a :

                                 Sens

                                    c-à-d 

                                       Croissance 1

                           Conclusion :  la suite ( un  est croissante sur IN. 

                    b. Démontrer que la suite( un )  converge.

                          En effet elle est croissante et majorée par 1.

                           Donc d"après un résultat de cours elle converge.

                          Conclusion : elle converge.

                 3. Soit la suite ( vn )  définie par :

                            Suitevn 2

                      a . Montrer que la suite( vn ) est géométrique.     

                          Vn

                                  et

                                         Relation de recurrencepour u

 

                             Ainsi:

 

 

                         833

                      b. Exprimer v en fonction de n  pour tout entier naturel n  .             

                      934

                      c.   En déduire que :

                                            Unenfoncden

                                  926

                      d. Déterminer la limite de la suite  ( un ).           

                           Comme 0 < 1 / 3 < 1           lim ( 1 / 3 )= 0

                                                                       n → + ∞

                          Ainsi:          lim [  ( 1 / 3 )n    + 1 ]= 1

                                    n → + ∞

                                 Or :

                        432

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             EXERCICE  2    ( Extrait Bac   )

             Partie A

              On considère, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante:

                          ( E ) :  z3 + 2 z 2 - 16 = 0

              1. Montrer que 2 est une solution de ( E ), puis que ( E ) peut s'écrire sous la

                  forme :

                   ( z - 2 ) ( a z 2  + b z  + c ) = 0   

                   où a , b , c sont trois réels que l'on déterminera.

              2. En déduire les solutions de l'équation ( E )  sous la forme

                  algébrique puis sous la forme exponentielle. 

           Partie B

                   Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct

                 ( O ; vect( u ) , vect( v ) ).

              1. Placer les points A, B et D d'affixes respectives :    

                    zA  =  - 2 - 2 i                  zB  = 2            zD   =  - 2 + 2 i

              2. Déterminer l'affixe du point C de façon que le quadrilatère ABCD soit

                   un parallélogramme.

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                    REPONSE :        

     Partie 

              1. Montrer que 2 est une solution de ( E ), puis que ( E ) peut s'écrire sous la

                  forme :

                   ( z - 2 ) ( a z 2  + b z  + c ) = 0 

                   où a , b , c   sont trois réels que l'on déterminera.

                  Réponse:

                  • •      OUI.   2 est solution de ( E )       

                             car    23 + 2 × 22- 16 =  8 + 8 - 16 =0 .        

                  • •      Ainsi  z3 + 2 z 2 - 16  est factorisable par z - 2.

                            Il existe un polynôme du second degré  a z 2  + b z  + c

                           tel que :   z3 + 2 z 2 - 16  = ( z -  2 )  (  a z 2  + b z  + c  )  

                           pour tout nombre complexe z.

                           Pour trouver  a z 2  + b z  + c   on peut utiliser la division pour x distinct de 2. 

                           ( Ce n'est pas la seule méthode. )

          z3 + 2 z 2  - 16  |   z -  2
    - (  z3 - 2 z 2  ) | z² + 4 z + 8
  -------------------- |
           4 z²           - 16 |
     - (  4 z²  - 8 z ) |
   -------------------- |
                   8 z - 16 |
              - (  8 z - 16 ) |
               --------------- |
                     0 |

         Le reste est nul .

        Ainsi :  z3 + 2 z 2 - 16  = ( z -  2 ) (   z² + 4z + 8   )

               ( E )  s'écrit   ( z -  2 ) (  z² + 4z + 8 ) = 0

                 Conclusion :  a = 1         b = 4           c  = 8            

            2. En déduire les solutions de l'équation ( E )  sous la forme

                  algébrique puis exponentielle.                

            Réponse:

          •       ( E )  s'écrit   ( z -  2 ) (  z² + 4z + 8 ) = 0

                    c-à-d   z = 2   ou   z² + 4z + 8  = 0

                 Résolvons à présent  :   z² + 4z + 8  = 0

                  a = 1       b ' = 2        c = 8

                   Ainsi :     Δ '  = b ' ² - ac

                    c-à-d      Δ '  = 4 - 8 = - 4

                                 Δ ' < 0

                    On a :             Δ '  = ( 2 i  )²

           Les solutions sont :

                 ( - b ' - i √|  Δ ' | ) / a  =  - 2 - 2 i

                  ( - b ' + i √|  Δ ' | ) / a  =  - 2 + 2 i

            Conclusion pour ( E ).

              L'ensemble solution dans l'ensemble des nombres complexes est:

                    { 2 ;  - 2 - 2 i  ;  - 2 + 2 i }

            • Cherchons les formes exponentielles.

               •• Pour - 2 - 2 i:                            | - 2 - 2 i | = √( ( - 2 )² + 2²  ) = √8      

                                                Considérons :   cos θ = - 2 / √8  = - 2 / ( 2 √2) = - √2   / 2

                                                                             sin θ = - 2 / √8  = - √2   / 2

                                                            Donc            θ = 5 π / 4     convient

                            ( on peut aussi prendre  - 3 π / 4   )

                     On a:                 - 2 - 2 i =  √8  e i ( 5 π / 4)

               •• Pour 2 :              2 > 0

                                               Donc   arg( 2 ) = 0  ( 2  π )

                                                   directement   2 = 2 e0i                                                                       

               •• Pour  - 2 + 2i :

                                        - 2 + 2i  est le conjugué de  - 2 - 2 i

                                       Donc    le module est le même et comme argument on peut

                                       prendre l'opposé d'un argument de - 2 - 2 i.

                                  Ainsi:           - 2 + 2i  = √8   e  - i ( 5 π / 4 )

                               ( il était possible aussi de prendre 3 π / 4   )

                                           Certr

         Partie B

                   Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct

                 Reporth 1

              1. Placer les points A, B et D d'affixes respectives :    

                    zA  =  - 2 - 2 i                  zB  = 2            zD   =  - 2 + 2 i

                    Réponse:

                                                                           

              2. Déterminer l'affixe du point C de façon que le quadrilatère ABCD soit

                   un parallélogramme.

                    Réponse:

                        On utilise :   vect( AB ) = vect( DC )

                           c-à-d                      zB - zA = zC - z D

                       D'où             zC    = z D   + (  zB - zA )

                        (  C est l'image de D par la translation de vecteur vect( AB ) ( 4 + 2 i )   )

                                          zC    =  - 2 + 2 i + 2 - (  - 2 - 2 i  )

                                         zC    = 2 i + 2 + 2 i = 2 + 4 i

                         Ainsi :    

                         Conclusion:       zC    = 2 + 4 i 

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              Ex3partiea

                   REPONSE:

                 Partie A

                  1. Limite en  - ∞  de f.

                          On a   :     lim ( x ex  e - 1 + 1  ) = 0 e-1  + 1 = 1   car     lim ( x ex  ) = 0    d'après le cours

                                            x - ∞                                                                  x →  - ∞ 

                                   Ainsi :

                                        Conclusion :   lim f ( x ) = 1

                                                                     x→ - ∞  

                                       L'axe des abscisses est une asymptote horizntale pour la courbe de f en   - ∞ 

                2.  Limite en  + ∞  de f.

                                    lim ( x ex - 1  + 1  ) = + ∞      car     lim(  ex - 1  ) =  lim   eX     = + ∞  

                                          x →  + ∞                                       x   + ∞           X  + ∞  

                        c-à-d  

                              Conclusion :               lim f( x ) =  + ∞

                                                                     x →  + ∞

               3. Recherche de f ' ( x ).

                             Soit  u :  x - 1

                             La fonction u est définie et dérivable dans IR.

                                    u ' :   1

                             Donc la fontion u  l'est aussi et l'on a   ( e u ) ' = u ' e u    

                             Soit x dans IR.

                             On a :     f ' ( x) = 1 e x - 1 + x 1 ex - 1   =   ( x + 1 )   ex - 1  

                                  Conclusion:      f ' ( x) =   ( x + 1 )   ex - 1      pour   tout réel x.

               4. Variations de f  sur IR.

                                       Comme exp > 0   sur IR   on a  f ' ( x )  qui est du signe de  x + 1   pour tout 

                                        x dans IR.

                                       Ainsi :

                                      Conclusion:

x  - ∞         - 1          + ∞  
f ' ( x )           -      0        +
 f( x )        ↓      - e- 2 +1         ↑   

           Partie B

                 Soit a un réel strictement positif. 

             Le but  de cette partie est de rechercher s'il existe une tangente à

             la courbe ( C )  au point d'abscisse a, qui passe par l'origine du repère.

                  1.On appelle Ta  la tangente à ( c ) au point d'abscisse a.

                        Donner une équation de Ta  .

                        Deux façons de faire:

                      # Soit directement à partir d'un résultat de première:

                       Son équation réduite est :    y  = f ' ( a ) ( x - a ) + f(a )

                      On remplace f '( a ) et f( a ).

                     # Soit en disant qu'elle est de la forme:

                                          y = m x + p  

                    • Son coefficient directeur est:    m = f '( a ) = ( a + 1 ) e a - 1  

                    • Elle passe par le point  A( a, f( a ) )

                     avec                 xA =  a        et     yA  =  f( a ) = a e a - 1   + 1

                    On a donc:

                                 yA    =   ( a + 1 ) e a - 1    xA   + p  

             c-à-d

                     Ordalorigine                                                  

                    Conclusion:   

                                      Equtg

        2.Soit a > 0.

                   Démontrons que T passe par l'origine ssi    

                           1 - a ea-1 =0

                  Ta   passe par l'origine ssi  l'ordonnée à l'origine est 0.

               Or l'ordonnée à l'origine est justement      1 - a ea-1                                   

                      Conclusion:

              T passe par l'origine ssi    1 - a ea-1 =0

              3. Montrons que 1 est la seule solution  

                    strictement positive de   1 - x ex-1 = 0 .

                    • Existence:     1  en est déjà une solution   car      1 - 1 e1-1 = 0.

                   • Unicité:          Montrons qu'il n'y en a pas d'autre.

                       Considérons la fonction  k : x  1 - x ex-1    définie et dérivable dans IR.

                       Montrons qu'elle est strictement monotone sur les réels strictement positifs.

                       Sa fonction dérivée est :    k' : x →  - 2 x  ex-1  - x2   ex-1

                                 c-à-d         k' : x  ( - 2 - x ) x  ex -1

                        k '( x ) est  du signe de - 2 - x   sur  les réels strictement positifs.                                          

                           Or    - 2 - x < 0   quand  x > 0

                    Donc  k ' < 0  sur     ] 0 ; + ∞ [ .

                Ainsi:     k est strictement décroissante sur  ] 0 ; + ∞ [ .

                                   k ne peut prendre qu'une fois la valeur 0.               

            Conclusion:  1 est bien sur l'intervalle ] 0 ; + ∞ [  la seule solution de

                           1 - x ex-1 =0   .

      4. Donnons une équation de la tangente Ta recherchée .  

         Elle doit passer par l'origine du repère  O.

         On a donc :

                             Equtg  

            avec  a = 1                                           

      En reportant dans l'équation de Ta   on a:

             T1 : y =    ( 1 + 1 ) e 1 - 1  x +  0

     Donc:

       Conclusion:

                           T1 : y = 2  x 

      PARTIE                                

                                                   Courbe1

                         Le graphique représente la courbe de la fonction f.

                    1. Construire sur le graphique ( en annexe ) la droite Δ d'équation y = 2 x.

                                        La droite Δ : y = 2 x   passe par les points

                                     O( 0 ; 0) et B( 1;2).

                        On peut la tracer facilement.                                  

                    2. Déterminer deux réels c et d tels que la fonction

                           Fonch

                        définie et dérivable dans IR, admette pour fonction dérivée :

                              Hprim

                            Soit x dans IR

                         Identif 

                     3.  On pose  :  G( x ) = H( x ) + x  pour tout réel x

                             Calculer   G( 1 ) - G( 0 ).

                               On a :        G( x) = H(x) + x    pour tout réel x

                      Donc:      G( 1 ) - G( 0 ) = H( 1 ) + 1 - H( 0)

                                       Or     H( 0 ) = - e- 1 

                                                H( 1 ) = 0

                                       Donc :     G( 1 ) - G( 0 ) = 0 + 1 +  e- 1

                        Conclusion :         G( 1 ) - g( 0 ) =  1 + e-1

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