INFO DS n° 4 21 /12/13 TS1

                                                    INFO   DS n° 4              21 /12/13      3 h    TS1                                 

             EXERCICE 1   ( Ex.  Bac S     )

                  On considère la suite ( u_n ) définie par :

            1. a.Calculer u₁ et u₂ .

                 b. Démontrer, par récurrence, que :

                            L'inégalité est bien vraie pour

                               Montrons que si  

                                  alors 

                         On a :

                            Donc

                               Or:

                           D'où:

                               Conclusion: Le résultat est prouvé sur IN.

                    2. On admet que:

                       a. Démontrer que la suite ( u_n )  est croissante. 

                            Démontrons que    0 ≤  u_{n + 1}  -  u_n      pour tout n dans IN .

                            Il n'est pas nécessaire de faire une récurrence.                       

                             Soit n dans IN  

                              On a :

                                    c-à-d 

                           Conclusion :  la suite ( u_n )   est croissante sur IN. 

                    b. Démontrer que la suite( u_n )  converge.

                          En effet elle est croissante et majorée par 1.

                           Donc d"après un résultat de cours elle converge.

                          Conclusion : elle converge.

                 3. Soit la suite ( v_n )  définie par :

                      a . Montrer que la suite( v_n ) est géométrique.     

                                  et

                             Ainsi:

                      b. Exprimer v_n  en fonction de n  pour tout entier naturel n  .             

                      c.   En déduire que :

                      d. Déterminer la limite de la suite  ( u_n )_.           

                           Comme 0 < 1 / 3 < 1           lim ( 1 / 3 )ⁿ = 0

                                                                       n → + ∞

                          Ainsi:          lim [  ( 1 / 3 )ⁿ    + 1 ]= 1

                                    n → + ∞

                                 Or :

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             EXERCICE  2    ( Extrait Bac   )

             Partie A

              On considère, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante:

                          ( E ) :  z³ + 2 z ² - 16 = 0

              1. Montrer que 2 est une solution de ( E ), puis que ( E ) peut s'écrire sous la

                  forme :

                   ( z - 2 ) ( a z ²  + b z  + c ) = 0   

                   où a , b , c sont trois réels que l'on déterminera.

              2. En déduire les solutions de l'équation ( E )  sous la forme

                  algébrique puis sous la forme exponentielle. 

           Partie B

                   Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct

                 ( O ; vect( u ) , vect( v ) ).

              1. Placer les points A, B et D d'affixes respectives :    

                    z_A  =  - 2 - 2 i                  z_B  = 2            z_D   =  - 2 + 2 i

              2. Déterminer l'affixe du point C de façon que le quadrilatère ABCD soit

                   un parallélogramme.

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                    REPONSE :        

     Partie 

              1. Montrer que 2 est une solution de ( E ), puis que ( E ) peut s'écrire sous la

                  forme :

                   ( z - 2 ) ( a z ²  + b z  + c ) = 0 

                   où a , b , c   sont trois réels que l'on déterminera.

                  Réponse:

                  • •      OUI.   2 est solution de ( E )       

                             car    2³ + 2 × 2²- 16 =  8 + 8 - 16 =0 .        

                  • •      Ainsi  z³ + 2 z ² - 16  est factorisable par z - 2.

                            Il existe un polynôme du second degré  a z ²  + b z  + c

                           tel que :   z³ + 2 z ² - 16  = ( z -  2 )  (  a z ²  + b z  + c  )  

                           pour tout nombre complexe z.

                           Pour trouver  a z ²  + b z  + c   on peut utiliser la division pour x distinct de 2. 

                           ( Ce n'est pas la seule méthode. )

         Le reste est nul .

        Ainsi :  z³ + 2 z ² - 16  = ( z -  2 ) (   z² + 4z + 8   )

               ( E )  s'écrit   ( z -  2 ) (  z² + 4z + 8 ) = 0

                 Conclusion :  a = 1         b = 4           c  = 8            

            2. En déduire les solutions de l'équation ( E )  sous la forme

                  algébrique puis exponentielle.                

            Réponse:

          •       ( E )  s'écrit   ( z -  2 ) (  z² + 4z + 8 ) = 0

                    c-à-d   z = 2   ou   z² + 4z + 8  = 0

                 Résolvons à présent  :   z² + 4z + 8  = 0

                  a = 1       b ' = 2        c = 8

                   Ainsi :     Δ '  = b ' ² - ac

                    c-à-d      Δ '  = 4 - 8 = - 4

                                 Δ ' < 0

                    On a :             Δ '  = ( 2 i  )²

           Les solutions sont :

                 ( - b ' - i √|  Δ ' | ) / a  =  - 2 - 2 i

                  ( - b ' + i √|  Δ ' | ) / a  =  - 2 + 2 i

            Conclusion pour ( E ).

              L'ensemble solution dans l'ensemble des nombres complexes est:

                    { 2 ;  - 2 - 2 i  ;  - 2 + 2 i }

            • Cherchons les formes exponentielles.

               •• Pour - 2 - 2 i:                            | - 2 - 2 i | = √( ( - 2 )² + 2²  ) = √8      

                                                Considérons :   cos θ = - 2 / √8  = - 2 / ( 2 √2) = - √2   / 2

                                                                             sin θ = - 2 / √8  = - √2   / 2

                                                            Donc            θ = 5 π / 4     convient

                            ( on peut aussi prendre  - 3 π / 4   )

                     On a:                 - 2 - 2 i =  √8  e ^{i ( 5 π / 4)}

               •• Pour 2 :              2 > 0

                                               Donc   arg( 2 ) = 0  ( 2  π )

                                                   directement   2 = 2 e⁰ⁱ                                                                       

               •• Pour  - 2 + 2i :

                                        - 2 + 2i  est le conjugué de  - 2 - 2 i

                                       Donc    le module est le même et comme argument on peut

                                       prendre l'opposé d'un argument de - 2 - 2 i.

                                  Ainsi:           - 2 + 2i  = √8   e  ^{- i ( 5 π / 4 )}

                               ( il était possible aussi de prendre 3 π / 4   )

         Partie B

                   Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct

              1. Placer les points A, B et D d'affixes respectives :    

                    z_A  =  - 2 - 2 i                  z_B  = 2            z_D   =  - 2 + 2 i

                    Réponse:

              2. Déterminer l'affixe du point C de façon que le quadrilatère ABCD soit

                   un parallélogramme.

                    Réponse:

                        On utilise :   vect( AB ) = vect( DC )

                           c-à-d                      z_B - z_A = z_C - z _D

                       D'où             z_C    = z _D   + (  z_B - z_A )

                        (  C est l'image de D par la translation de vecteur vect( AB ) ( 4 + 2 i )   )

                                          z_C    =  - 2 + 2 i + 2 - (  - 2 - 2 i  )

                                         z_C    = 2 i + 2 + 2 i = 2 + 4 i

                         Ainsi :    

                         Conclusion:       z_C    = 2 + 4 i 

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                   REPONSE:

                 Partie A

                  1. Limite en  - ∞  de f.

                          On a   :     lim ( x e^x  e ^{- 1} + 1  ) = 0 e^-1  + 1 = 1   car     lim ( x e^x  ) = 0    d'après le cours

                                            x→ - ∞                                                                  x →  - ∞ 

                                   Ainsi :

                                        Conclusion :   lim f ( x ) = 1

                                                                     x→ - ∞  

                                       L'axe des abscisses est une asymptote horizntale pour la courbe de f en   - ∞ 

                2.  Limite en  + ∞  de f.

                                    lim ( x e^{x - 1}  + 1  ) = + ∞      car     lim(  e^{x - 1}  ) =  lim   e^X     = + ∞  

                                          x →  + ∞                                       x →  + ∞           X → + ∞  

                        c-à-d  

                              Conclusion :               lim f( x ) =  + ∞

                                                                     x →  + ∞

               3. Recherche de f ' ( x ).

                             Soit  u : → x - 1

                             La fonction u est définie et dérivable dans IR.

                                    u ' : →  1

                             Donc la fontion u  l'est aussi et l'on a   ( e ^u ) ' = u ' e ^u    

                             Soit x dans IR.

                             On a :     f ' ( x) = 1 e ^{x - 1} + x 1 e^{x - 1}   =   ( x + 1 )   e^{x - 1}  

                                  Conclusion:      f ' ( x) =   ( x + 1 )   e^{x - 1}      pour   tout réel x.

               4. Variations de f  sur IR.

                                       Comme exp > 0   sur IR   on a  f ' ( x )  qui est du signe de  x + 1   pour tout 

                                        x dans IR.

                                       Ainsi :

                                      Conclusion:

           Partie B

                 Soit a un réel strictement positif. 

             Le but  de cette partie est de rechercher s'il existe une tangente à

             la courbe ( C )  au point d'abscisse a, qui passe par l'origine du repère.

                  1.On appelle T_a  la tangente à ( c ) au point d'abscisse a.

                        Donner une équation de T_a  .

                        Deux façons de faire:

                      # Soit directement à partir d'un résultat de première:

                       Son équation réduite est :    y  = f ' ( a ) ( x - a ) + f(a )

                      On remplace f '( a ) et f( a ).

                     # Soit en disant qu'elle est de la forme:

                                          y = m x + p  

                    • Son coefficient directeur est:    m = f '( a ) = ( a + 1 ) e ^{a - 1}  

                    • Elle passe par le point  A( a, f( a ) )

                     avec                 x_A =  a        et     y_A  =  f( a ) = a e ^{a - 1}   + 1

                    On a donc:

                                 y_A    =   ( a + 1 ) e ^{a - 1}    x_A   + p  

             c-à-d