AIDE 4 DV n ° 7 1S1 pour le 27 mars 2010
EXERCICE 4
Méthode d'Euler
Soit f une fonction définie et dérivable dans l'intervalle I = [ 1 ; + ∞ [
Le plan est muni d'un repère orthonormal
.
Soit ( C ) la courbe de f .
On ne connait pas ( C ). Le but est de trouver une courbe ( C ' )
qui approche ( C ).
Soit h un réel strictement positif . ( Le pas )
• On dispose de la valeur de la fonction f en x = 1.
f( 1 ) = 0
Par contre on ne dispose pas de l'expression de f.
• On dispose sur I de l'expression de f '.
f ' ( x ) = 1 / x pour tout x dans I.
On peut alors approcher la courbe ( C ) de f sur les intervalles
[ 1 ; 1 + h ] , [ 1 + h ; 1 + 2 h ] , [ 1 +2 h ; 1 + 3 h ] , ..... etc. par une succession
de segments "de tangentes fictives."
On utilise l'approximation affine : ( comme h est sensé être proche de 0 )
f( 1 + h ) ≈ f( 1 ) + h f ' ( 1 )
puis f( 1 + 2 h ) = f( (1 + h )+ h ) ) ≈ f( 1 + h ) + h f '( 1 + h )
puis f( 1 + 3h ) = f( (1 + 2h )+ h ) ) ≈ f( 1 + 2 h ) + h f '( 1 + 2 h )
Ainsi de suite de la même façon.
L'imprécision s'accumule.
QUESTIONS:
1 . Tracer la courbe ( C ' ) qui approche ( C ) sur l'intervalle [ 1 ; 3 ] avec un pas h = 0, 5 .
Vous pouvez utiliser un tableau EXCEL:
2. Tracer sur le même graphique la courbe de la fonction ln de la calculatrice.
C'est celle ( C ) de la fonction f sur cet intervalle.
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