INFO 3 DV n°2 1S1 24/10/09

   INFO 3      DV n°2                1S1       24/10/09  

     EXERCICE n ° 71           Livre Didier.      

               1.Donner l'ensemble de définition de la fonction S.

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                   Réponse:    AB = 3   et   M est dans le segment [ AB] .

                                              AM = x

                                    Donc x est dans l'intervalle [ 0 ; 3 ].

                                    Comme  S est de variable x on a:

                      Conclusion : S est définie dans [ 0 , 3 ]

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               2. Exprimer S( x ) en fonction de x.

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                Réponse: 

                      Par différence d'aires on peut faire apparaître l'aire de MNPQ.

                   En effet:

                   L'aire du quadrilatère MNPQ est celle du rectangle ABCD amputée

                   des aires de deux rectangles:

                   • L'un de côtés [AQ] et [AM].

                   • L'autre de côtés [ MB] et [BN].

                      On a:                   AQ = 5 - x     AM = 3      BN = x        MB = 3 - x

                            • L'aire du rectangle dont deux côtés sont [AQ] et [AM] est :

                                                     x ( 5 - x )   en cm²

                            • L'aire du rectangle dont deux côtés sont  [ MB] et [BN]  est:

                                                    x( 3 - x )            en cm²

                             • L'aire du rectangle ABCD est : 15  cm²  

                        Par différence l'aire du quadrilatère MNPQ est :

                                    S( x ) = 15    -   x ( 5 - x ) -    x( 3 - x )     en cm²      

                     c-à-d            S( x ) = 15 - 8x + 2x²

                 Conclusion : S ( x )   = 2 x² - 8 x + 15       avec x dans [ 0 ; 3 ] 

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                3. Peut-on placer M de telle sorte que MNPQ ait pour aire 9 cm²?

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             Réponse:       

                     Il faut regarder si l'équation  S( x ) = 9 

                  c-à-d      S( x ) - 9 = 0  admet  au moins

                     une solution dans [0 ; 3 ] .

                    Considérons:       2x²- 8 x+ 15  = 9

                             c-à-d              2x²- 8x + 6 = 0

                              c-à-d               x²- 4x+ 3 = 0

                        1 est une racine évidente car 1 - 4 + 3 = 0

                        L'autre est donc c / a = 3 / 1 = 3

                             Conclusion :    OUI.  Pour x = 1 ou x = 3  on a 9 cm² pour

                                    l'aire  de MNPQ.

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                     a. Dresser le tableau de variation de S.

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                      Soit x dans [ 0 , 3 ] .

                   On a :        S( x ) = 2 x² - 8 x + 15

                                     a = 2        b' = - 4   c = 15

                    a > 0  

                   On a :             Δ' = b' ² - a c       Δ' = 16 - 30 = -14  

                                        - b' / a = - ( - 4 ) / 2 = 2

                                          - Δ' / a =   - ( - 14 ) / 2 = 7

                  En x = 2  la fonction S atteint son minimum  7.

   (  Le tableau de variation d'une fonction du second degré se fait directement. )

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                     b. Quelle est l'aire maximale de MNPQ?

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             Réponse:         D'après le tableau le maximum de S sur [ 0 ; 3 ]

                                     est    15  cm².   Il est obtenu pour x = 0.

               Conclusion :  MNPQ admet 15 comme aire maximale sur [ 0 ; 3 ]. 

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               4.a . Montrer que l'aire T du trapèze MBCP est constante.

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                  Réponse:                                

                        On a:               T  =   BC ×[  ( MB + CP) / 2 ]

                      ( La formule de l'aire d'un trapèze, ici rectangle , donne une valeur numérique T

                       ne faisant pas intervenir x. )

                           En effet    

                                    MB + CP = CD = 3 cm

                                         et        BC = 5 cm

                            D'où       T = 5 ×( 3 / 2 ) = 7,5

                             Conclusion :  T = 7,5     cm²  

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            b. Pour quelles valeurs de x l'aire de MNPQ est-elle inférieure à celle du trapèze?

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                 Réponse:                             

                         Il faut résoudre dans [ 0 ; 3 ] , l'inégalité du second degré :    

                                                     S( x ) ≤ T  

                                    c-à-d        S( x ) - T   ≤ 0.

                                            c-à-d       2 x² - 8 x + 15 - 7,5  ≤ 0

                                             c-à-d       2 x² - 8 x + 7,5  ≤ 0

                               a = 2     b' = - 4    c = 7,5

                              On a :    Δ' = b' ² - a c

                                               Δ' = 16 - 2 ( 15 / 2 )= 16 - 15 = 1

                              Δ' > 0

                          Les deux racines distinctes sont:

                           (- b' - √ Δ' ) / a  =  ( 4 - √1 ) / 2 =  3 / 2

                                  (- b' + √ Δ' ) / a = ( 4 + √1 ) / 2  = 5 / 2

            Nous voulons que 2 x² - 8 x + 7,5 soit du signe de - a.

               Nous devons prendre x entre les racines tout en étant dans [ 0 ; 3 ].       

                      Conclusion :   Quand x est dans [ 3/2 ; 5/ 2 ]  on a l'aire MNPQ  

                                                       inférieurs à celle du trapèze MBCP.

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