Nom : ............. Prénom: .............. Date:mars 09 Classe: BTS1A
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M étant donné une matrice carrée , on pose M1 = M et pour tout entier naturel n non nul , Mn+1 = M ×Mn .
On considère la matrice D définie par :
| / 1 | 0 \ |
| \ 0 | - 1 / 2 / |
a. Calculer D2 et D3 .
D2 =
| / 1 | 0 \ |
| \ 0 | 1 / 4 / |
D3 =
/ 1
0 \
\ 0
- 1 / 8 /
On admettra que pour tout entier naturel non nul n , on a Dn qui est la matrice
| / 1 | 0 \ |
| \ 0 | ( - 1 / 2 )n / |
b. Etant données les matrices P et P' respectivement
/ 1
1 \
\ 1
- 2 /
et
| / 2 / 3 | 1 / 3 \ |
| \ 1 / 3 | - 1 / 3 / |
montrer que P × P' est la matrice unité I
| / 1 | 0 \ |
| \ 0 | 1 / |
Il suffit de faire le produit .
P × P' =
| / (2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) | (1 / 3) - ( 1 / 3 ) \ |
| \ (2 / 3 ) - ( 2 / 3 ) | (1 / 3) + ( 2 / 3) / |
On obtient bien
| / 1 | 0 \ |
| \ 0 | 1 / |
Calculer aussi P' × P.
P' × P =
| / (2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) | (2/ 3) - ( 2 / 3 ) \ |
| \ 1/ 3 ) - ( 1 / 3 ) | (1 / 3) + ( 2 / 3) / |
C'est la matrice I aussi
c. On considère la matrice A égale à
| / 1 / 2 | 1 /2 \ |
| \ 1 | 0 / |
Montrer que P × D × P' = A
D'abord :
P × D =
| / 1 | - 1 / 2 \ |
| \ 1 | 1 / |
Puis : P × D × P' =
| / ( 2 / 3 ) - ( 1 /6 ) | ( 1 / 3 ) +( 1 / 6 ) \ |
| \ ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) | ( 1 / 3 ) - ( 1 / 3 ) / |
Donc P × D × P' =
| / 1 / 2 | 1 /2 \ |
| \ 1 | 0 / |
Ainsi : P × D × P' = A
d. n est un entier naturel non nul.
Sachant que An = ( P × D × P' )×( P × D × P' )×.........×( P × D × P' ) avec n facteur identiques
utiliser le 1. b. pour établir que An = P × Dn × P' .
• On a : An = P × Dn × P' pour n = 1 .
• Montrons que pour tout entier naturel non nul , si An = P × Dn × P' alors An+1 = P × Dn+1 × P' .
An+1 = An ×A = P × Dn × P' × A = P × Dn × P' × P × D × P'
Mais P' × P = I
Donc An+1 = P × Dn × I × D × P' = P × Dn × D × P' = P × Dn+1 × P'
On a obtenu : An+1 = P × Dn+1 × P'
L'égalité est prouvée pour tout entier naturel non nul n . ( On dit , par récurrence )
Conclusion: An = P × Dn × P' pour tout entier naturel non nul n .
En déduire les termes de la matrice An en fonction de ( - 1 / 2 )n .
P × Dn × P' = ...................
On a : P × Dn =
/ 1
( - 1 /2 ) n \
\ 1
- 2 ( - 1 / 2 )n /
Donc :
An = P × Dn × P' =
| / ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) ( - 1 /2 ) n | ( 1 / 3 ) - ( 1 / 3 ) ( - 1 /2 ) n \ |
| \ ( 2 / 3 ) - ( 2 / 3 ) ( - 1 /2 ) n | ( 1 / 3 ) + ( 2 / 3 ) ( - 1 / 2 )n / |
Conclusion : On a bien les termes de An .
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